📄 Treść zadania
Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego \((a_{n})\), określonego dla \(n\ge1\), są liczbami dodatnimi. Drugi wyraz tego ciągu jest równy \(162\), a piąty wyraz jest równy \(48\). Oznacza to, że iloraz tego ciągu jest równy:
A
\(\frac{2}{3}\)
B
\(\frac{3}{4}\)
C
\(\frac{1}{3}\)
D
\(\frac{1}{2}\)
Krok 1. Rozpisanie wartości piątego wyrazu.
Spróbujmy powiązać wartość piątego wyrazu z wyrazem drugim. Dzięki temu powstanie nam równanie z którego obliczymy iloraz naszego ciągu. Piąty wyraz ciągu geometrycznego możemy rozpisać jako:
$$a_{5}=a_{2}\cdot q\cdot q\cdot q$$
$$a_{5}=a_{2}\cdot q^3$$
Krok 2. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego.
Podstawiając do powyższego równania \(a_{2}=162\) oraz \(a_{5}=48\) otrzymamy:
$$48=162\cdot q^3$$
$$q^3=\frac{48}{162}$$
$$q^{3}=\frac{8}{27}$$
$$q=\sqrt[3]{\frac{8}{27}}$$
$$q=\frac{2}{3}$$