📄 Treść zadania
Rozwiąż równanie \(8x^3+8x^2-3x-3=0\).
Krok 1. Wyłączenie odpowiednich czynników przed nawias i zapisanie równania w postaci iloczynowej.
Tradycyjnie w tego typu zadaniach musimy wyłączyć wspólne części przed nawias. Wspólną częścią pierwszego i drugiego wyrazu jest \(8x^2\), a z trzeciego i czwartego wyrazu możemy wyłączyć liczbę \(-3\). To oznacza, że:
$$8x^3+8x^2-3x-3=0$$
$$8x^2(x+1)+(-3)(x+1)$$
$$8x^2(x+1)-3(x+1)$$
$$(8x^2-3)(x+1)=0$$
Krok 2. Wyznaczenie rozwiązań z postaci iloczynowej.
Równanie mamy w postaci iloczynowej, tak więc aby całość była równa \(0\), to któraś z wartości w nawiasach musi być równa \(0\). Zatem:
$$8x^2-3=0 \quad\quad\lor\quad\quad x+1=0$$
Rozwiążmy najpierw to pierwsze równanie. Możemy oczywiście tutaj zastosować metodę liczenia delty, ale możemy też zrobić to w następujący sposób:
$$8x^2-3=0$$
$$8x^2=3$$
$$x^2=\frac{3}{8}$$
$$x=\sqrt{\frac{3}{8}} \quad\lor\quad x=-\sqrt{\frac{3}{8}}$$
Tutaj moglibyśmy się jeszcze pokusić o usunięcie niewymierności z mianownika (choć nie jest to konieczne):
$$\sqrt{\frac{3}{8}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{8}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4\cdot2}}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{4}$$
Jeżeli więc usuniemy tę niewymierność z mianownika to otrzymamy:
$$x=\frac{\sqrt{6}}{4} \quad\lor\quad x=-\frac{\sqrt{6}}{4}$$
Przejdźmy do rozwiązania drugiego równania, tutaj będzie znacznie prościej:
$$x+1=0$$
$$x=-1$$
To oznacza, że równanie ma trzy rozwiązania: \(x=\sqrt{\frac{3}{8}} \lor x=-\sqrt{\frac{3}{8}} \lor x=-1\).
Ewentualnie zapisując to inaczej: \(x=\frac{\sqrt{6}}{4} \lor x=-\frac{\sqrt{6}}{4} \lor x=-1\).