📄 Treść zadania
Rozwiązaniem równania \(x\sqrt{3}+2=2x-8\) jest liczba:
A
\(10(2+\sqrt{3})\)
B
\(\frac{10}{\sqrt{3}-2}\)
C
\(10(\sqrt{3}-2)\)
D
\(\frac{\sqrt{3}+10}{2}\)
Przenosząc "iksy" na jedną stronę oraz liczby na drugą, otrzymamy:
$$x\sqrt{3}+2=2x-8$$
$$x\sqrt{3}-2x=-8-2$$
$$x\sqrt{3}-2x=-10$$
Jak rozwiązać tego typu równanie? Musimy po lewej stronie wyłączyć wspólny czynnik przed nawias. Wspólnym czynnikiem \(x\sqrt{3}\) oraz \(-2x\) jest oczywiście \(x\), zatem:
$$x\sqrt{3}-2x=-10$$
$$x(\sqrt{3}-2)=-10$$
$$x=\frac{-10}{\sqrt{3}-2}$$
Krok 2. Usunięcie niewymierności z mianownika.
Obliczony przed chwilą wynik jest jak najbardziej poprawny, ale nie znalazł się on w proponowanych odpowiedziach. To dlatego, że powinniśmy jeszcze usunąć niewymierność z mianownika. W tym celu musimy licznik oraz mianownik pomnożyć przez \(\sqrt{3}+2\) (uwaga na znaki!), dzięki czemu w mianowniku otrzymamy wzór skróconego mnożenia \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\). W związku z tym:
$$x=\frac{-10}{\sqrt{3}-2}$$
$$x=\frac{-10\cdot(\sqrt{3}+2)}{(\sqrt{3}-2)\cdot(\sqrt{3}+2)}$$
$$x=\frac{-10\sqrt{3}-20}{3-4}$$
$$x=\frac{-10\sqrt{3}-20}{-1}$$
$$x=10\sqrt{3}+20=10(\sqrt{3}+2)=10(2+\sqrt{3})$$