📄 Treść zadania
Dane są dwa prostopadłościany podobne: \(B_{1}\) oraz \(B_{2}\). Objętość prostopadłościanu \(B_{1}\) jest równa \(V\), a objętość prostopadłościanu \(B_{2}\) jest równa \(27V\). Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu \(B_{1}\) jest równe \(P\).
Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.
Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu \(B_{2}\) jest równe:
A. \(27P\)
B. \(9P\)
C. \(3\sqrt{3}P\)
ponieważ stosunek pól powierzchni całkowitych prostopadłościanów podobnych jest równy
1. stosunkowi objętości tych prostopadłościanów
2. pierwiastkowi kwadratowemu ze stosunku objętości tych prostopadłościanów.
3. kwadratowi stosunku długości odcinków odpowiadających w obu prostopadłościanach.
Krok 1. Obliczenie skali podobieństwa.
Z własności brył podobnych wiemy, że jeżeli skala podobieństwa brył jest równa \(k\), to bryła podobna ma \(k^3\) razy większą objętość. Widzimy, że drugi prostopadłościan ma objętość \(27\) razy większą od pierwszego, zatem:
$$k^3=27$$
$$k=3$$
Krok 2. Obliczenie pola powierzchni całkowitej prostopadłościanu \(B_{2}\).
Z własności figur podobnych wiemy, że jeżeli skala podobieństwa jest równa \(k\), to pole powierzchni figury podobnej jest \(k^2\) razy większe. W naszym przypadku \(k=3\), więc pole powierzchni będzie \(k^2=3^2=9\) razy większe.
To oznacza, że pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu \(B_{2}\) jest równe \(9P\), ponieważ stosunek pól powierzchni całkowitych prostopadłościanów podobnych jest równy kwadratowi stosunku długości odcinków odpowiadających w obu prostopadłościanach.