Zadanie 45 Informator maturalny CKE 2023 — zadania z rozwiązaniami

Zadanie 1.
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanosząc na rysunek dane z treści zadania, otrzymamy następującą sytuację:


Krok 2. Obliczenie miary kąta \(\alpha\).
Korzystając z funkcji trygonometrycznych (a dokładniej rzecz ujmując - z tangensa), możemy zapisać, że:
$$tg\alpha=\frac{r}{H}$$ $$tg\alpha=\frac{10}{25}$$ $$tg\alpha=0,4$$

Z tablic trygonometrycznych odczytujemy, że sinus przyjmuje wartość \(0,4\) dla kąta o mierze około \(22°\).

Krok 3. Obliczenie kąta rozwarcia stożka.
Kąt rozwarcia stożka będzie dwa razy większy od kąta \(\alpha\), zatem będzie miał on miarę \(2\cdot22°=44°\).

Zadanie 2.
Krok 1. Obliczenie długości tworzącej stożka.
Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$10^2+25^2=l^2$$ $$100+625=l^2$$ $$l^2=725$$ $$l=\sqrt{725} \quad\lor\quad l=-\sqrt{725}$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(l=\sqrt{725}\), co w sumie możemy (choć nie musimy) jeszcze rozpisać jako \(l=\sqrt{25\cdot29}=5\sqrt{29}\).

Krok 2. Obliczenie obwodu podstawy stożka.
Obliczmy teraz obwód podstawy stożka, korzystając ze wzoru \(Obw=2\pi r.\) W podstawie mamy koło, którego średnica ma długość \(d=20\), a nam do obwodu potrzebny jest promień, zatem\( r=10\). Podstawiając te dane, otrzymamy:
$$Obw=2\pi r$$ $$Obw=2\pi \cdot10$$ $$Obw=20\pi$$

Krok 3. Obliczenie obwodu całego koła, z którego wzięto wycinek.
Obliczmy teraz obwód koła, z którego wzięto wycinek do budowy stożka. Z rysunku widzimy, że to będzie koło, którego promień ma długość \(l\). W pierwszym kroku obliczyliśmy, że \(l=5\sqrt{29}\), zatem:
$$Obw=2\pi r$$ $$Obw=2\pi\cdot5\sqrt{29}$$ $$Obw=10\sqrt{29}\pi$$

Krok 4. Obliczenie miary kąta \(BSA\).
Wiemy, że całe koło to \(360°\). Miara naszego kąta \(BSA\) będzie stanowiła pewną część tych \(360°\). Ta część będzie dokładnie taka sama jak stosunek długości łuku względem obwodu całego koła. Skoro tak, to:
$$\alpha=\frac{20\pi}{10\sqrt{29}\pi}\cdot360°$$ $$\alpha=\frac{20}{10\sqrt{29}}\cdot360°$$ $$\alpha=\frac{2}{\sqrt{29}}\cdot360°$$ $$\alpha\approx\frac{2}{5,3852}\cdot360°$$ $$\alpha\approx133,7°\approx134°$$