📄 Treść zadania
Na rysunku przedstawiono walec, stożek i kulę oraz niektóre ich wymiary.
Na podstawie informacji przedstawionych na rysunku wybierz zdanie prawdziwe.
A
Objętość kuli jest większa od objętości walca
B
Objętość stożka jest większa od objętości kuli
C
Objętość walca jest \(2\) razy większa od objętości kuli
D
Objętość stożka jest \(3\) razy mniejsza od objętości walca
To zadanie wymaga od nas nie tyle obliczeń każdej z objętości co przede wszystkim spostrzegawczości. Znając wzory na objętość walca i stożka wiemy doskonale, że różnią się tylko tym, że we wzorze na objętość stożka stoi dodatkowo mnożenie przez \(\frac{1}{3}\):
$$V_{walca}=πr^2\cdot H$$
$$V_{stożka}=\frac{1}{3}πr^2\cdot H$$
Skoro wszystkie wymiary brył są jednakowe, to na pewno objętość stożka będzie \(3\) razy mniejsza od objętości walca (właśnie przez to mnożenie przez \(\frac{1}{3}\)). To oznacza, że nawet bez dokonywania obliczeń możemy wybrać czwartą odpowiedź jako tą prawdziwą. Jeżeli jednak nie dostrzegamy takich zależności, to nic nie stoi na przeszkodzie by obliczyć objętości tych trzech brył:
Krok 1. Obliczenie objętości walca.
$$V_{w}=πr^2\cdot H$$
$$V_{w}=π3^2\cdot6$$
$$V_{w}=π9\cdot6$$
$$V_{w}=54π$$
Krok 2. Obliczenie objętości stożka.
$$V_{s}=\frac{1}{3}πr^2\cdot H$$
$$V_{s}=\frac{1}{3}π\cdot9\cdot6$$
$$V_{s}=18π$$
Krok 3. Obliczenie objętości kuli.
$$V_{k}=\frac{4}{3}πr^3$$
$$V_{k}=\frac{4}{3}π\cdot3^3$$
$$V_{k}=\frac{4}{3}π\cdot27$$
$$V_{k}=36π$$
Krok 4. Wybór właściwej odpowiedzi.
Przyglądając się wynikom i odpowiedziom z treści zadania widzimy wyraźnie, że jedynym prawdziwym stwierdzeniem jest to zawarte w czwartej odpowiedzi, bo faktycznie objętość stożka jest \(3\) razy mniejsza od objętości walca.