🔒 Zaloguj się, aby zapisywać wyniki zadań tego klucza na swoim koncie.
🎯 Co musisz umieć
obliczać pole powierzchni i objętość graniastosłupów oraz ostrosłupów,
rozpoznawać siatki brył i odczytywać z nich wymiary,
liczyć wierzchołki, krawędzie i ściany brył,
stosować twierdzenie Pitagorasa do wysokości ściany bocznej i krawędzi bocznej.
🔍 Jak rozpoznać zadanie
„ostrosłup prawidłowy czworokątny” → podstawa kwadrat, $4$ jednakowe ściany boczne,
„siatka bryły” → z wymiarów siatki odczytaj krawędzie podstawy i wysokość,
„ile wierzchołków ma graniastosłup” → dwa razy tyle, co w podstawie,
„suma długości krawędzi” → policz osobno krawędzie podstawy i boczne.
📘 Teoria w pigułce
Graniastosłup: $V=P_p\cdot H$, $P_c=2P_p+P_b$; ma $2n$ wierzchołków i $3n$ krawędzi ($n$ — liczba boków podstawy).
Ostrosłup: $V=\dfrac13P_p\cdot H$, $P_c=P_p+P_b$; ma $n+1$ wierzchołków i $2n$ krawędzi.
Ostrosłup prawidłowy czworokątny: podstawa to kwadrat, ściany boczne to $4$ jednakowe trójkąty równoramienne.
Pole ściany bocznej: $\dfrac{a\cdot h}{2}$, gdzie $h$ — wysokość ściany bocznej (apotema).
Związek: $b^2=h^2+\left(\dfrac a2\right)^2$, gdzie $b$ — krawędź boczna, $h$ — wysokość ściany bocznej.
Prostopadłościan o krawędziach $a$, $b$, $c$: $V=abc$, $P_c=2(ab+bc+ac)$.
∑ Najważniejsze wzory
$V_{\text{grania}}=P_pH$
$V_{\text{ostros}}=\tfrac13P_pH$
$P_c=2(ab+bc+ac)$
$P_{\text{ściany}}=\tfrac{ah}{2}$
$b^2=h^2+\left(\tfrac a2\right)^2$
⚙️ Algorytm krok po kroku
Rozpoznaj bryłę i narysuj (lub wyobraź) jej podstawę.
Wypisz dane: krawędź podstawy, wysokość bryły, wysokość ściany bocznej.
Dobierz wzór: objętość czy pole powierzchni?
Jeśli brakuje wymiaru — użyj twierdzenia Pitagorasa w odpowiednim trójkącie.
Podaj wynik z jednostką ($\text{cm}^2$ dla pola, $\text{cm}^3$ dla objętości).
⚠️ Najczęstsze pułapki
Źle
Dobrze
Dlaczego
✗ $V_{\text{ostrosłupa}}=P_pH$
✓ $\tfrac13P_pH$
jedna trzecia!
✗ pole powierzchni bocznej = pole jednej ściany
✓ suma wszystkich ścian bocznych
w ostrosłupie prawidłowym $\cdot4$
✗ wysokość bryły = wysokość ściany bocznej
✓ to różne odcinki
łączy je Pitagoras
✗ jednostki: $\text{cm}^2$ dla objętości
✓ $\text{cm}^3$
objętość jest trójwymiarowa
✍️ Przykład wzorcowy typ zadania 21 z egzaminu 2025
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wysokość ściany bocznej poprowadzona do krawędzi podstawy jest równa $12$ cm, a pole jednej ściany bocznej wynosi $108\ \text{cm}^2$. Oblicz sumę długości wszystkich krawędzi tego ostrosłupa.
Ściana boczna to trójkąt: $\dfrac{a\cdot12}{2}=108 \Rightarrow 6a=108 \Rightarrow a=18$ cm.
Wysokość ściany bocznej dzieli ją na dwa trójkąty prostokątne o przyprostokątnych $12$ cm i $\dfrac{a}{2}=9$ cm.
Krawędź boczna: $b=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{225}=15$ cm.
Suma krawędzi: $4a+4b=4\cdot18+4\cdot15=72+60=132$ cm.
Odpowiedź: $132$ cm
Jak CKE przyznaje punkty:
1 pkt — obliczenie krawędzi podstawy $a=18$ cm,
2 pkt — obliczenie krawędzi bocznej $b=15$ cm,
3 pkt — obliczenie sumy długości wszystkich krawędzi.
📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE
Zadania autentyczne. Niżej są prawdziwe zadania z arkuszy CKE — numer i punktacja zgodne z oryginalnym arkuszem. Kliknij rok, aby otworzyć cały arkusz.
Zadania autorskie. To nie są przedruki z arkuszy — ułożyliśmy je w formacie maturalnym, na wzorów z tabeli „Ślad w arkuszach CKE” powyżej. Typ, punktacja i poziom trudności odpowiadają realnym zadaniom egzaminacyjnym.
Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym pole jednej ściany bocznej jest równe $\frac{2}{9}$ pola powierzchni całkowitej $P$. Oceń prawdziwość stwierdzeń.
Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest równe $\frac{8}{9}P$.
Pole podstawy jest dwa razy mniejsze od pola jednej ściany bocznej.
Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.
P/P1. P, 2. P
P/F1. P, 2. F
F/P1. F, 2. P
F/F1. F, 2. F
Pole powierzchni bocznej: $4\cdot\dfrac29P=\dfrac89P$ — prawda.
Pole podstawy: $P-\dfrac89P=\dfrac19P$, czyli dwa razy mniej niż pole jednej ściany bocznej ($\dfrac29P$) — prawda.
Z trzech jednakowych sześcianów o krawędzi $10$ cm i jednego ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy $9$ cm i objętości $324\ \text{cm}^3$ zbudowano dwie wieże: pierwszą z sześcianu i ostrosłupa, drugą z dwóch sześcianów. Oblicz różnicę wysokości tych wież.
Wysokość ostrosłupa: $H=\dfrac{324}{\frac13\cdot81}=12$ cm.
Wieża I: $10+12=22$ cm; wieża II: $10+10=20$ cm.
Różnica: $22-20=2$ cm.
Odpowiedź: $2$ cm
Schemat punktowania:
1 pkt — obliczenie wysokości ostrosłupa,
2 pkt — obliczenie wysokości obu wież,
3 pkt — obliczenie różnicy.
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 3 pkt
Siatka graniastosłupa prawidłowego czworokątnego składa się z dwóch kwadratów o boku $5$ cm i prostokąta o wymiarach $20$ cm i $8$ cm. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Prostokąt o wymiarach $20\times8$ to rozwinięcie ścian bocznych: obwód podstawy $=20$ cm (zgadza się: $4\cdot5$), a wysokość bryły to $8$ cm.
$V=P_p\cdot H=25\cdot8=200\ \text{cm}^3$.
Odpowiedź: $200\ \text{cm}^3$
Schemat punktowania:
1 pkt — rozpoznanie, że $20$ cm to obwód podstawy,
2 pkt — odczytanie wysokości $8$ cm,
3 pkt — obliczenie objętości.
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 3 pkt
Skrzynia ma kształt prostopadłościanu o podstawie $1{,}5$ m na $1{,}2$ m i wysokości $1$ m. Oblicz jej objętość w metrach sześciennych oraz pole powierzchni dna i ścian bocznych (bez wieka).
$V=1{,}5\cdot1{,}2\cdot1=1{,}8\ \text{m}^3$.
Dno: $1{,}5\cdot1{,}2=1{,}8\ \text{m}^2$.
Ściany boczne: $2\cdot(1{,}5\cdot1)+2\cdot(1{,}2\cdot1)=3+2{,}4=5{,}4\ \text{m}^2$.
Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy $10$ cm i wysokość ściany bocznej $13$ cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej oraz wysokość tego ostrosłupa.
Pole podstawy: $10\cdot10=100\ \text{cm}^2$.
Pole jednej ściany: $\dfrac{10\cdot13}{2}=65\ \text{cm}^2$, czterech: $260\ \text{cm}^2$.
$P_c=100+260=360\ \text{cm}^2$.
Wysokość bryły z Pitagorasa: $H=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$ cm.
Odpowiedź: $P_c=360\ \text{cm}^2$; $H=12$ cm
Wskazówka: Wysokość ściany bocznej ($13$) i wysokość bryły ($12$) to różne odcinki — łączy je połowa krawędzi podstawy.
Schemat punktowania:
1 pkt — obliczenie pola podstawy i ściany bocznej,
2 pkt — obliczenie pola powierzchni całkowitej,
3 pkt — obliczenie wysokości bryły z twierdzenia Pitagorasa.
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 3 pkt
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.
