OS04

Podzielność i własności liczb naturalnych — klucz maturalny, egzamin ósmoklasisty

PriorytetAbardzo ważny
Częstotliwość4/5arkuszy 2021–2025
Punkty w arkuszuśr. 1,4 pkt (0–2)
Formy zadań1–2 zadania zamknięte: cechy podzielności, reszty z dzielenia, NWD i NWW, regularności
🔑 Sygnał: Cechy podzielności i zapis $a=kn+r$ zamiast dzielenia pisemnego.

🎯 Co musisz umieć

  • stosować cechy podzielności przez 2, 3, 4, 5, 9, 10 i 100,
  • obliczać resztę z dzielenia i wykorzystywać ją w zadaniach,
  • wyznaczać NWD i NWW oraz rozkładać liczby na czynniki pierwsze,
  • dostrzegać regularności w ciągach liczb i figur.

🔍 Jak rozpoznać zadanie

  • „czy liczba jest podzielna przez…” → cechy podzielności, a nie dzielenie pisemne,
  • „reszta z dzielenia” → zapis $a=k\cdot n+r$,
  • „na ile równych części można podzielić” → dzielniki, NWD,
  • „co ile powtarza się…” → NWW albo okresowość.

📘 Teoria w pigułce

  • Cechy podzielności: przez $2$ — ostatnia cyfra parzysta; przez $5$ — $0$ lub $5$; przez $10$ — $0$.
  • Przez $3$ i przez $9$ — suma cyfr dzieli się odpowiednio przez $3$ i przez $9$; przez $4$ — dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez $4$.
  • Reszta: $a=k\cdot n+r$, gdzie $0\le r\lt n$. Np. $92=13\cdot7+1$, więc reszta z dzielenia $92$ przez $7$ wynosi $1$.
  • Wśród dowolnych $n$ kolejnych liczb całkowitych dokładnie jedna dzieli się przez $n$.
  • NWD — największy wspólny dzielnik (do dzielenia na równe części), NWW — najmniejsza wspólna wielokrotność (do „spotkań” i wspólnych mianowników).
  • Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki: $1$ i samą siebie ($1$ nie jest liczbą pierwszą).

∑ Najważniejsze wzory

$a=k\cdot n+r$
$\text{NWD}(a,b)\cdot\text{NWW}(a,b)=a\cdot b$
suma cyfr $\div 3$
dwie ostatnie cyfry $\div 4$

⚙️ Algorytm krok po kroku

  1. Sprawdź, o jaką własność pyta zadanie (podzielność, reszta, dzielniki).
  2. Zastosuj cechę podzielności zamiast liczyć „na piechotę”.
  3. Przy resztach zapisz liczbę w postaci $k\cdot n+r$.
  4. Przy NWD/NWW rozłóż liczby na czynniki pierwsze.
  5. W zadaniach z regularnością wypisz kilka pierwszych przypadków i poszukaj wzoru.

⚠️ Najczęstsze pułapki

ŹleDobrzeDlaczego
✗ liczba parzysta = podzielna przez $4$✓ nieprawda$6$ jest parzysta, ale $6:4$ daje resztę
✗ reszta może być równa dzielnikowi✓ $0\le r\lt n$reszta jest zawsze mniejsza od dzielnika
✗ NWD i NWW pomylone✓ NWD — dzielenie na części, NWW — wspólne wielokrotnościczytaj kontekst
✗ $1$ jest liczbą pierwszą✓ nie jestma tylko jeden dzielnik

✍️ Przykład wzorcowy typ zadania 3 z egzaminu 2025

Która z liczb $91$, $92$, $95$, $97$ przy dzieleniu przez $7$ daje resztę $1$?

📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE

RokZadaniaPktCzego dotyczyło
2025zad. 31 pktktóra z liczb $91,92,95,97$ daje resztę $1$ przy dzieleniu przez $7$
2024—0 pktbrak osobnego zadania
2023zad. 2, 132 pktsześcian liczby $4$ i NWW mianowników; regularność w figurze z $40$ odcinków
2022zad. 3, 42 pktliczby trzycyfrowe o sumie cyfr $6$; podzielność sumy $323+160$ przez $3$
2021zad. 5, 132 pktpodzielność iloczynu pięciu kolejnych liczb przez $10$; podział listewki (NWD)
Działy w serwisie:Klasa 7 SPKlasa 8 SP

✍️ Trening: 10 zadań w formacie maturalnym

Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.

OS04.1odpowiedź krótka★★★ 0–2 pkt🔗

Podaj resztę z dzielenia liczby $100$ przez $7$.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 2 pkt
OS04.2odpowiedź krótka★★★ 0–2 pkt🔗

Oblicz NWD liczb $24$ i $36$.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 2 pkt
OS04.3zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Która z liczb jest podzielna przez $9$?

A$125$
B$413$
C$234$
D$521$
OS04.4prawda / fałsz★★★ 0–1 pkt🔗

Rozważamy iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych. Oceń prawdziwość stwierdzeń.

  1. Iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielny przez $3$.
  2. Iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielny przez $5$.

Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.

P/P1. P, 2. P
P/F1. P, 2. F
F/P1. F, 2. P
F/F1. F, 2. F
OS04.5otwarte★★★ 0–2 pkt🔗

Ile jest liczb trzycyfrowych o sumie cyfr równej $4$ i zapisanych wyłącznie cyframi różnymi od zera? Wypisz je.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 2 pkt
OS04.6otwarte★★★ 0–3 pkt🔗

Listewkę o długości $84$ cm chcemy pociąć na jednakowe kawałki o długości będącej liczbą całkowitą centymetrów, dłuższe niż $10$ cm i krótsze niż $30$ cm. Podaj wszystkie możliwe długości kawałka.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 3 pkt
OS04.7otwarte★★★ 0–2 pkt🔗

Czy liczba $k=417+255$ jest podzielna przez $3$? Odpowiedź uzasadnij bez wykonywania dzielenia.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 2 pkt
OS04.8otwarte★★★ 0–3 pkt🔗

Autobus linii A odjeżdża co $12$ minut, a linii B — co $18$ minut. O godzinie $8:00$ odjechały razem. Oblicz, o której godzinie najbliżej odjadą znowu razem.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 3 pkt
OS04.9otwarte★★★ 0–3 pkt🔗

Uzasadnij, że iloczyn dowolnych pięciu kolejnych liczb naturalnych jest podzielny przez $10$.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 3 pkt
OS04.10otwarte★★★ 0–3 pkt🔗

Na kartce ułożono figurę z kolejno numerowanych odcinków: odcinki o numerach podzielnych przez $3$ są czerwone, a pozostałe — niebieskie. Oblicz, ile odcinków czerwonych jest wśród pierwszych $50$ odcinków, i podaj numer ostatniego z nich.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 3 pkt

Pobierz PDF — wszystkie klucze

🔑Klucze i teoriateoria, wzory, algorytmy, pułapki, ściągaPDF · 1,9 MB ⬇✍️Zadania10 zadań na klucz, miejsce na rozwiązanie, odpowiedziPDF · 1,3 MB ⬇✅Rozwiązaniapełne rozwiązania krok po kroku + schemat punktowaniaPDF · 2,1 MB ⬇
Zacznij dziś

Zacznij naukę już dziś
— to nic nie kosztuje

Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.

🚀 Załóż konto za darmo → 📄 Przeglądaj arkusze ✉️ Napisz do nas