Podzielność i własności liczb naturalnych — klucz maturalny, egzamin ósmoklasisty

1. $100=7\cdot14+2$, więc reszta wynosi $2$.

Odpowiedź: $2$

1. $24=2^3\cdot3$, $36=2^2\cdot3^2$.
2. NWD $=2^2\cdot3=12$.

Odpowiedź: $12$

1. Sprawdzamy sumy cyfr: $2+3+4=9$ ✓ dla $234$.
2. $1+2+5=8$, $4+1+3=8$, $5+2+1=8$ — te liczby nie są podzielne przez $9$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? Decyduje suma cyfr, a nie ostatnia cyfra.

1. 1. Wśród trzech kolejnych liczb zawsze jest liczba podzielna przez $3$, więc iloczyn dzieli się przez $3$ — prawda.
2. 2. Wśród trzech kolejnych liczb nie zawsze jest liczba podzielna przez $5$, np. $6\cdot7\cdot8=336$ — fałsz.

Odpowiedź: PF

1. Cyfry muszą być dodatnie i sumować się do $4$: możliwe zestawy to $\{1,1,2\}$.
2. Ustawienia: $112$, $121$, $211$ — razem $3$ liczby.

Odpowiedź: $3$ liczby: $112$, $121$, $211$

1. Długość kawałka musi być dzielnikiem liczby $84$.
2. Dzielniki $84$: $1,2,3,4,6,7,12,14,21,28,42,84$.
3. Z przedziału $(10;30)$: $12$, $14$, $21$, $28$.

Odpowiedź: $12$ cm, $14$ cm, $21$ cm, $28$ cm

1. Suma cyfr liczby $417$: $4+1+7=12$ — dzieli się przez $3$, więc $417$ jest podzielna przez $3$.
2. Suma cyfr liczby $255$: $2+5+5=12$ — również dzieli się przez $3$.
3. Suma dwóch liczb podzielnych przez $3$ jest podzielna przez $3$, więc $k$ dzieli się przez $3$.

Odpowiedź: tak

1. Szukamy NWW$(12,18)$.
2. $12=2^2\cdot3$, $18=2\cdot3^2$, więc NWW $=2^2\cdot3^2=36$.
3. Kolejny wspólny odjazd po $36$ minutach, czyli o $8:36$.

Odpowiedź: o $8:36$

1. Wśród pięciu kolejnych liczb naturalnych jest co najmniej jedna liczba podzielna przez $5$ (bo co piąta liczba dzieli się przez $5$).
2. Wśród pięciu kolejnych liczb są też co najmniej dwie liczby parzyste, więc iloczyn dzieli się przez $2$.
3. Skoro iloczyn dzieli się przez $2$ i przez $5$, to dzieli się przez $10$. $\blacksquare$

Odpowiedź: dowód

1. Czerwone są odcinki o numerach $3,6,9,\dots$, czyli wielokrotności $3$.
2. $50:3=16$ reszty $2$, więc wielokrotności $3$ nie większych od $50$ jest $16$.
3. Ostatnia z nich to $3\cdot16=48$.

Odpowiedź: $16$ odcinków; ostatni ma numer $48$

Wskazówka: W zadaniach o regularnościach wypisz kilka pierwszych przypadków — wzór zwykle sam się ujawnia.