Uczysz innych? Poznaj LekcjeRazem.pl →
OS03

Potęgi i pierwiastki — klucz maturalny, egzamin ósmoklasisty

PriorytetA+najwyższy zwrot z nauki
Częstotliwość5/5arkuszy 2021–2025
Punkty w arkuszuśr. 1,8 pkt (1–2)
Formy zadań1–2 zadania zamknięte po 1 pkt: działania na potęgach, szacowanie pierwiastków
🔑 Sygnał: Sprowadź do wspólnej podstawy, potem dodawaj lub odejmuj wykładniki.

🎯 Co musisz umieć

  • stosować działania na potęgach o tej samej podstawie i o tym samym wykładniku,
  • zapisywać liczby jako potęgi tej samej podstawy (np. $8=2^3$, $9=3^2$),
  • obliczać pierwiastki kwadratowe i sześcienne z liczb i ułamków,
  • szacować pierwiastki, wskazując sąsiednie liczby całkowite.

🔍 Jak rozpoznać zadanie

  • „zapisz w postaci potęgi liczby $2$” → sprowadź wszystkie czynniki do podstawy $2$,
  • duże liczby typu $200\,000$ → rozbij na $2\cdot10^5$,
  • „między którymi liczbami leży $\sqrt{60}$” → szukaj kwadratów sąsiednich liczb całkowitych,
  • pierwiastek z ułamka → pierwiastkuj licznik i mianownik osobno.

📘 Teoria w pigułce

  • $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$, $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$.
  • $a^n\cdot b^n=(ab)^n$ oraz $\dfrac{a^n}{b^n}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^n$.
  • $a^0=1$ (dla $a\ne0$), $a^1=a$.
  • $\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$, $\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}$ (dla $a,b\ge0$, $b\ne0$).
  • $\sqrt{a^2}=a$ dla $a\ge0$; $\sqrt[3]{a^3}=a$ dla każdego $a$.
  • Szacowanie: $\sqrt{60}$ leży między $\sqrt{49}=7$ a $\sqrt{64}=8$, bliżej $8$.

∑ Najważniejsze wzory

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$
$\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$
$(a^m)^n=a^{mn}$
$a^nb^n=(ab)^n$
$\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b$
$\sqrt{\tfrac ab}=\tfrac{\sqrt a}{\sqrt b}$

⚙️ Algorytm krok po kroku

  1. Sprowadź wszystkie liczby do tej samej podstawy (np. $4=2^2$, $8=2^3$, $9=3^2$, $25=5^2$).
  2. Zastosuj wzory na mnożenie i dzielenie potęg.
  3. Przy pierwiastkach wyłącz czynnik przed pierwiastek albo oblicz go dokładnie.
  4. Przy szacowaniu wskaż dwa sąsiednie kwadraty liczb całkowitych.
  5. Sprawdź wynik przybliżeniem liczbowym.

⚠️ Najczęstsze pułapki

ŹleDobrzeDlaczego
✗ $a^m\cdot a^n=a^{m\cdot n}$✓ $a^{m+n}$wykładniki dodajemy
✗ $\sqrt{a+b}=\sqrt a+\sqrt b$✓ nieprawdapierwiastek nie jest addytywny
✗ $(2\cdot10^5)^3=2\cdot10^{15}$✓ $8\cdot10^{15}$potęgujemy oba czynniki
✗ $\sqrt{60}\approx6$✓ $\approx7{,}7$bo $7^2=49$, $8^2=64$

✍️ Przykład wzorcowy typ zadania 8 z egzaminu 2025

Zapisz wartość wyrażenia $8^6:4^3$ w postaci potęgi liczby $2$.

📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE

Zadania autentyczne. Niżej są prawdziwe zadania z arkuszy CKE — numer i punktacja zgodne z oryginalnym arkuszem. Kliknij rok, aby otworzyć cały arkusz.

RokZadaniaPktCzego dotyczyło
2025zad. 7, 82 pktwyrażenia z pierwiastkami $\sqrt{\tfrac{1}{16}}$, $\sqrt{\tfrac19}$; $8^6:4^3$ jako potęga $2$
2024zad. 71 pkt$3\cdot9^5=3^{11}$ oraz $\tfrac{2^8\cdot2^7}{2^{10}}=2^5$
2023zad. 5, 72 pkt$\sqrt{81}-\sqrt{49}$, $\sqrt{144}+\sqrt{25}$; $\tfrac{10^8}{5^8}$, $2^6\cdot25^3$
2022zad. 5, 82 pktporównanie potęg liczby $10$; szacowanie $\sqrt{60}$
2021zad. 4, 72 pkt$(200\,000)^3$ w notacji wykładniczej; $-\sqrt{10}+5$
Działy w serwisie:Klasa 7 SPKlasa 8 SP

✍️ Trening: 10 zadań w formacie maturalnym

Zadania autorskie. To nie są przedruki z arkuszy — ułożyliśmy je w formacie maturalnym, na wzorów z tabeli „Ślad w arkuszach CKE” powyżej. Typ, punktacja i poziom trudności odpowiadają realnym zadaniom egzaminacyjnym.

Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.

OS03.1odpowiedź krótka★★★ 0–2 pkt🔗

Zapisz w postaci jednej potęgi: $3^4\cdot3^5$.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 2 pkt
OS03.2odpowiedź krótka★★★ 0–2 pkt🔗

Oblicz $\sqrt{\dfrac{49}{81}}$.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 2 pkt
OS03.3zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Wartość wyrażenia $\dfrac{9^4\cdot9^3}{9^5}$ jest równa:

A$9$
B$81$
C$729$
D$9^{12}$
OS03.4prawda / fałsz★★★ 0–1 pkt🔗

Oceń prawdziwość stwierdzeń.

  1. Iloczyn $2\cdot8^3$ jest równy $2^{10}$.
  2. Wartość wyrażenia $\sqrt{16+9}$ jest równa $\sqrt{16}+\sqrt{9}$.

Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.

P/P1. P, 2. P
P/F1. P, 2. F
F/P1. F, 2. P
F/F1. F, 2. F
OS03.5otwarte★★★ 0–2 pkt🔗

Zapisz liczbę $(300\,000)^2$ w postaci $a\cdot10^n$, gdzie $1\le a\lt 10$.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 2 pkt
OS03.6otwarte★★★ 0–2 pkt🔗

Oblicz wartość wyrażenia $\sqrt{121}-\sqrt{\dfrac{9}{25}}+\sqrt[3]{27}$.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 2 pkt
OS03.7otwarte★★★ 0–3 pkt🔗

Zapisz wartość wyrażenia $\dfrac{4^5\cdot2^3}{8^2}$ w postaci potęgi liczby $2$.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 3 pkt
OS03.8otwarte★★★ 0–2 pkt🔗

Między którymi kolejnymi liczbami całkowitymi leży $\sqrt{136}$? Odpowiedź uzasadnij.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 2 pkt
OS03.9otwarte★★★ 0–3 pkt🔗

Oblicz, ile razy liczba $2^{12}$ jest większa od liczby $2^{7}$, i zapisz obie liczby w postaci dziesiętnej.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 3 pkt
OS03.10otwarte★★★ 0–3 pkt🔗

Wykaż, że wartość wyrażenia $\dfrac{10^8}{5^8}$ jest liczbą naturalną, i oblicz ją.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 3 pkt

Pobierz PDF — wszystkie klucze

🔑Klucze i teoriateoria, wzory, algorytmy, pułapki, ściągaPDF · 1,9 MB ⬇✍️Zadaniazadania do każdego klucza, miejsce na rozwiązanie, odpowiedziPDF · 1,3 MB ⬇✅Rozwiązaniapełne rozwiązania krok po kroku + schemat punktowaniaPDF · 2,1 MB ⬇
LekcjeRazem.pl — prowadź korepetycje profesjonalnie. Tablica online, grafik, rozliczenia i AI w jednym miejscu. Sprawdź LekcjeRazem.pl.
Zacznij dziś

Zacznij naukę już dziś — to nic nie kosztuje

Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.

🚀 Załóż konto za darmo → 📄 Przeglądaj arkusze ✉️ Napisz do nas