Procenty i obliczenia praktyczne — klucz maturalny, egzamin ósmoklasisty
PriorytetA+najwyższy zwrot z nauki
Częstotliwość5/5arkuszy 2021–2025
Punkty w arkuszuśr. 1,4 pkt (1–3)
Formy zadań1 zadanie zamknięte co roku, co drugi rok zadanie otwarte za 3 pkt (zakupy, ceny, rabaty)
🔑 Sygnał: Ustal $100\%$, potem licz krok po kroku; procenty mnożymy, nie dodajemy.
🔒 Zaloguj się, aby zapisywać wyniki zadań tego klucza na swoim koncie.
🎯 Co musisz umieć
obliczać procent danej liczby i liczbę z danego procentu,
obliczać, jakim procentem jednej liczby jest druga,
stosować podwyżki i obniżki (także kilkukrotne) oraz obliczać cenę po rabacie,
czytać dane z tabel i cenników oraz planować obliczenia w kilku krokach.
🔍 Jak rozpoznać zadanie
„o ile procent większa/mniejsza” → różnica podzielona przez wartość wyjściową,
„jaki procent stanowi” → iloraz razy $100\%$,
„cena po obniżce o $p\%$” → mnożenie przez $\left(1-\tfrac{p}{100}\right)$,
tabela z cenami i masami → policz osobno każdy rodzaj, dopiero potem sumuj.
📘 Teoria w pigułce
$p\%$ liczby $a$ to $\dfrac{p}{100}\cdot a$.
Jaki procent liczby $b$ stanowi liczba $a$: $\dfrac{a}{b}\cdot100\%$.
Podwyżka o $p\%$: $a\cdot\left(1+\dfrac{p}{100}\right)$; obniżka: $a\cdot\left(1-\dfrac{p}{100}\right)$.
Dwie kolejne zmiany mnożymy: wzrost o $10\%$ i spadek o $10\%$ daje $1{,}1\cdot0{,}9=0{,}99$, czyli spadek o $1\%$.
„O ile procent więcej” liczymy zawsze względem wartości, z którą porównujemy (punkt odniesienia w treści).
W zadaniach praktycznych: najpierw ustal jednostki (kg, zł, sztuki), potem licz.
∑ Najważniejsze wzory
$p\%\cdot a=\dfrac{p}{100}a$
$\dfrac{a}{b}\cdot100\%$
$a\left(1+\tfrac{p}{100}\right)$
$a\left(1-\tfrac{p}{100}\right)$
⚙️ Algorytm krok po kroku
Wypisz dane z treści lub tabeli (co jest całością, a co częścią).
Ustal punkt odniesienia dla procentu ($100\%$).
Zapisz działanie: procent liczby, liczba z procentu albo stosunek.
Wykonaj obliczenia krok po kroku — nie skracaj etapów w pamięci.
Sprawdź sens wyniku (czy cena po obniżce jest mniejsza, czy procent mieści się w $0$–$100\%$).
⚠️ Najczęstsze pułapki
Źle
Dobrze
Dlaczego
✗ porównanie do wartości końcowej
✓ do wartości wyjściowej
punkt odniesienia z treści
✗ dodawanie procentów: $+10\%$ i $-10\%$ = $0$
✓ $1{,}1\cdot0{,}9=0{,}99$
procenty się mnoży
✗ $10\%$ ze $120$ kg to $10$ kg
✓ $12$ kg
$10\%=\tfrac{1}{10}$ całości
✗ mieszanie jednostek (kg i opakowania)
✓ policz liczbę opakowań
masa : masa opakowania
✍️ Przykład wzorcowy typ zadania 18 z egzaminu 2024
Pan Jan sprzedał $120$ kg truskawek: połowę masy w opakowaniach po $1$ kg (cena $18$ zł), $10\%$ masy w opakowaniach po $0{,}5$ kg (cena $10$ zł), a resztę w opakowaniach po $0{,}25$ kg (cena $6$ zł). Oblicz, jaką kwotę otrzymał ze sprzedaży wszystkich truskawek.
Masy: duże $\tfrac12\cdot120=60$ kg, średnie $10\%\cdot120=12$ kg, małe $120-60-12=48$ kg.
Liczba opakowań: $60:1=60$, $12:0{,}5=24$, $48:0{,}25=192$.
Kwoty: $60\cdot18=1080$ zł, $24\cdot10=240$ zł, $192\cdot6=1152$ zł.
Razem: $1080+240+1152=2472$ zł.
Odpowiedź: $2472$ zł
Jak CKE przyznaje punkty:
1 pkt — obliczenie mas truskawek w każdym rodzaju opakowań,
2 pkt — obliczenie liczby opakowań i kwot z co najmniej dwóch rodzajów,
3 pkt — poprawny wynik końcowy $2472$ zł.
📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE
Zadania autentyczne. Niżej są prawdziwe zadania z arkuszy CKE — numer i punktacja zgodne z oryginalnym arkuszem. Kliknij rok, aby otworzyć cały arkusz.
Zadania autorskie. To nie są przedruki z arkuszy — ułożyliśmy je w formacie maturalnym, na wzorów z tabeli „Ślad w arkuszach CKE” powyżej. Typ, punktacja i poziom trudności odpowiadają realnym zadaniom egzaminacyjnym.
Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.
W sadzie rosną grusze i jabłonie. Liczba grusz jest o $40\%$ większa od liczby jabłoni, a grusz jest o $50$ więcej niż jabłoni. Oblicz, ile jabłoni rośnie w sadzie.
Niech $j$ — liczba jabłoni. Grusz jest $1{,}4j$.
$1{,}4j-j=50$, czyli $0{,}4j=50$.
$j=125$.
Odpowiedź: $125$ jabłoni
Schemat punktowania:
1 pkt — zapisanie liczby grusz jako $1{,}4j$,
2 pkt — poprawne równanie,
3 pkt — wynik $125$.
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 3 pkt
Sklep kupił $80$ kg jabłek po $2{,}50$ zł za kilogram. Połowę sprzedał po $4$ zł za kilogram, a resztę — po obniżce o $20\%$ tej ceny. Oblicz zysk sklepu.
Koszt zakupu: $80\cdot2{,}50=200$ zł.
Pierwsza połowa: $40\cdot4=160$ zł. Druga połowa po cenie $4\cdot0{,}8=3{,}20$ zł: $40\cdot3{,}20=128$ zł.
Przychód: $160+128=288$ zł. Zysk: $288-200=88$ zł.
Odpowiedź: $88$ zł
Schemat punktowania:
1 pkt — obliczenie kosztu zakupu,
2 pkt — obliczenie przychodu z obu części,
3 pkt — obliczenie zysku $88$ zł.
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 3 pkt
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.
