Praca, moc i zasada zachowania energii — klucz maturalny, poziom rozszerzony
PriorytetA+najwyższy zwrot z nauki
Częstotliwość4/5arkuszy 2022–2026
Punkty w arkuszuśr. 2,8 pkt (0–4)
Formy zadańnarzędzie w zadaniach z mechaniki — zwykle 3–4 pkt jako alternatywa dla równań dynamiki
🔑 Sygnał: Dwa stany bez pytania o czas → energia; tarcie = strata energii mechanicznej.
🔒 Zaloguj się, aby zapisywać wyniki zadań tego klucza na swoim koncie.
🎯 Co musisz umieć
obliczać pracę siły stałej ($W=Fs\cos\alpha$) i pracę jako pole pod wykresem $F(s)$,
stosować twierdzenie o pracy i energii kinetycznej $W=\Delta E_k$,
układać bilans energii z uwzględnieniem pracy sił oporu i tarcia,
obliczać moc chwilową $P=Fv$ i sprawność $\eta=\tfrac{W_{uz}}{W_{wl}}$.
🔍 Jak rozpoznać zadanie
w zadaniu są dwa stany (początek i koniec), a nie pytanie o czas → zasada zachowania energii,
„najmniejsza prędkość, przy której…”, „na jaką wysokość się wzniesie” → bilans energii,
„jaką pracę wykonała siła oporu” → $W_{op}=\Delta E_{mech}$ (ujemna),
„moc silnika przy stałej prędkości” → $P=Fv$, gdzie $F$ równoważy opory.
📘 Teoria w pigułce
Praca siły stałej: $W=Fs\cos\alpha$; siła prostopadła do przemieszczenia nie wykonuje pracy (np. dośrodkowa, normalna).
Twierdzenie o pracy i energii: $W_{wypadkowa}=\Delta E_k=\tfrac12mv_k^2-\tfrac12mv_0^2$.
Zasada zachowania energii mechanicznej (bez tarcia): $E_k+E_p=\text{const}$.
Z tarciem: $\Delta E_{mech}=W_{tarcia}=-\mu mg\cdot s$ (energia przechodzi w wewnętrzną).
Moc: $P=\dfrac{W}{t}$, a dla stałej prędkości $P=Fv$. Sprawność $\eta=\dfrac{P_{uz}}{P_{wl}}\cdot100\%$.
Energia sprężystości: $E_s=\tfrac12kx^2$ — zawsze dodatnia, liczona od położenia równowagi.
∑ Najważniejsze wzory
$W=Fs\cos\alpha$
$E_k=\tfrac12mv^2$
$E_p=mgh$
$E_s=\tfrac12kx^2$
$P=\dfrac{W}{t}=Fv$
$\eta=\dfrac{W_{uz}}{W_{wl}}$
⚙️ Algorytm krok po kroku
Zaznacz stan początkowy i końcowy oraz poziom zerowy energii potencjalnej.
Wypisz wszystkie formy energii w obu stanach.
Zapisz bilans: $E_{pocz}=E_{konc}+|W_{tarcia}|$ (lub $E_{pocz}=E_{konc}$, gdy brak strat).
Rozwiąż równanie — masa często się skraca.
Sprawdź sensowność: energia nie może być ujemna, $\eta\le100\%$.
⚠️ Najczęstsze pułapki
Źle
Dobrze
Dlaczego
✗ $W=Fs$ przy sile pod kątem
✓ $W=Fs\cos\alpha$
liczy się składowa wzdłuż drogi
✗ siła dośrodkowa wykonuje pracę
✓ $W=0$
jest prostopadła do prędkości
✗ $E_p=mgh$ liczone od podłogi zamiast od wybranego poziomu
✓ poziom zerowy wybierasz sam
ale konsekwentnie
✗ pomijanie masy w ZZE, gdy się nie skraca
✓ sprawdź, czy naprawdę się skraca
w układach dwóch ciał nie
✍️ Przykład wzorcowy typ zadania z bilansu energii z tarciem
Sanki o masie $m=20$ kg zsuwają się ze zbocza o wysokości $h=5$ m i długości $s=20$ m, a następnie przejeżdżają jeszcze $10$ m po poziomym torze. Współczynnik tarcia na całej trasie wynosi $\mu=0{,}1$, kąt nachylenia zbocza $\alpha=30^\circ$, $g=10\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$. Oblicz prędkość sanek u podnóża zbocza i sprawdź, czy zatrzymają się na odcinku poziomym.
Na zboczu: $mgh-\mu mg\cos\alpha\cdot s=\tfrac12mv^2$.
Na poziomie: droga hamowania $s_h=\dfrac{v^2}{2\mu g}=\dfrac{65{,}4}{2}\approx32{,}7$ m $\gt 10$ m — sanki nie zatrzymają się.
Odpowiedź: $v\approx8{,}6\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$; nie zatrzymają się (droga hamowania $\approx37$ m)
Jak CKE przyznaje punkty:
1 pkt — bilans energii na zboczu z pracą tarcia,
2 pkt — obliczenie $v$ u podnóża,
3 pkt — obliczenie drogi hamowania,
4 pkt — wniosek z porównania z $10$ m.
📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE
Zadania autentyczne. Niżej są prawdziwe zadania z arkuszy CKE — numer i punktacja zgodne z oryginalnym arkuszem. Kliknij rok, aby otworzyć cały arkusz.
Zadania autorskie. To nie są przedruki z arkuszy — ułożyliśmy je w formacie maturalnym, na wzorów z tabeli „Ślad w arkuszach CKE” powyżej. Typ, punktacja i poziom trudności odpowiadają realnym zadaniom egzaminacyjnym.
Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.
Dźwig podnosi ładunek o masie $500$ kg na wysokość $12$ m w czasie $20$ s ze stałą prędkością ($g=10\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$). Oblicz pracę i moc dźwigu.
$W=mgh=500\cdot10\cdot12=60\,000$ J.
$P=\dfrac{W}{t}=\dfrac{60000}{20}=3000$ W $=3$ kW.
Odpowiedź: $W=60$ kJ; $P=3$ kW
Schemat punktowania:
1 pkt — obliczenie pracy $60$ kJ,
2 pkt — obliczenie mocy $3$ kW.
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 2 pkt
Samochód o masie $1200$ kg jedzie ze stałą prędkością $20\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$, pokonując opory o wartości $600$ N. Oblicz moc silnika oraz jego sprawność, jeżeli silnik pobiera moc $30$ kW.
Stała prędkość $\Rightarrow$ siła napędowa równa oporom: $F=600$ N.
$P=Fv=600\cdot20=12\,000$ W $=12$ kW.
$\eta=\dfrac{12}{30}=0{,}4=40\%$.
Odpowiedź: $P=12$ kW; $\eta=40\%$
Schemat punktowania:
1 pkt — zauważenie, że $F=F_{oporu}$,
2 pkt — moc $12$ kW,
3 pkt — sprawność $40\%$.
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 3 pkt
Kulka o masie $0{,}2$ kg zsuwa się bez tarcia z wysokości $1{,}8$ m po torze zakończonym pętlą. Oblicz prędkość kulki na dole toru ($g=10\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$).
Sprężynę o współczynniku sprężystości $k=400\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}}$ ściśnięto o $10$ cm i wystrzelono nią poziomo kulkę o masie $50$ g. Oblicz prędkość kulki (tarcie pomijamy).
Klocek o masie $1$ kg wyrzucono w górę po równi o kącie $30^\circ$ z prędkością $8\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$. Współczynnik tarcia wynosi $\mu=0{,}2$, $g=10\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$. Oblicz drogę, jaką klocek przebędzie wzdłuż równi do zatrzymania.
Ciało o masie $m$ zsuwa się swobodnie (bez tarcia) z wysokości $h$ po dowolnie ukształtowanej gładkiej zjeżdżalni. Wykaż, że prędkość na dole nie zależy od kształtu zjeżdżalni ani od masy ciała, i oblicz tę prędkość dla $h=5$ m ($g=10\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$).
Siła reakcji podłoża jest zawsze prostopadła do przemieszczenia, więc nie wykonuje pracy.
Pozostaje tylko siła grawitacji: $mgh=\tfrac12mv^2$; masa się skraca.
$v=\sqrt{2gh}$ — zależy wyłącznie od $h$. $\blacksquare$
Dla $h=5$ m: $v=\sqrt{100}=10\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.
