W liczbie pięciocyfrowej \(258\#4\), podzielnej przez \(4\) i niepodzielnej przez \(3\), cyfrę dziesiątek zastąpiono znakiem \(„\#”\). Jakiej cyfry na pewno nie zastąpiono znakiem \(„\#”\)?

A \(0\)
B \(4\)
C \(6\)
D \(8\)

Odpowiedź:      

D

Rozwiązanie:      
Krok 1. Ustalenie co może znaleźć się pod znakiem \(\#\), aby liczba była podzielna przez \(4\). Liczba jest podzielna przez \(4\) tylko wtedy, gdy jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez \(4\). Sprawdźmy zatem kiedy nasza liczba będzie podzielną przez \(4\). Gdy pod \(\#\) wstawimy \(0\), to dwiema ostatnimi cyframi będą \(04\), czyli liczba będzie podzielna przez \(4\). Gdy pod \(\#\) wstawimy \(4\), to dwiema ostatnimi cyframi będą \(44\), czyli liczba będzie podzielna przez \(4\). Gdy pod \(\#\) wstawimy \(6\), to dwiema ostatnimi cyframi będą \(64\), czyli liczba będzie podzielna przez \(4\). Gdy pod \(\#\) wstawimy \(8\), to dwiema ostatnimi cyframi będą \(84\), czyli liczba będzie podzielna przez \(4\). Możemy więc zaobserwować, że podstawiając dowolną cyfrę spośród proponowanych w odpowiedziach ABCD, uda nam się utworzyć liczbę podzielną przez \(4\). Krok 2. Ustalenie kiedy liczba będzie niepodzielna przez \(3\). Liczba jest podzielna przez \(3\) tylko wtedy, gdy suma jej cyfr daje liczbę podzielną przez \(3\). Analogicznie jeśli suma cyfr nie da liczby podzielnej przez \(3\), to liczba będzie niepodzielna przez \(3\) (taka sytuacja nas właśnie interesuje). Sprawdźmy zatem jak zachowa się nasza liczba podstawiając proponowane cyfry: Gdy pod \(\#\) wstawimy \(0\), to suma cyfr wyniesie: \(2+5+8+0+4=19\), czyli liczba jest niepodzielna przez \(3\). Gdy pod \(\#\) wstawimy \(4\), to suma cyfr wyniesie: \(2+5+8+4+4=23\), czyli liczba jest niepodzielna przez \(3\). Gdy pod \(\#\) wstawimy \(6\), to suma cyfr wyniesie: \(2+5+8+6+4=25\), czyli liczba jest niepodzielna przez \(3\). Gdy pod \(\#\) wstawimy \(8\), to suma cyfr wyniesie: \(2+5+8+8+4=27\), czyli liczba jest podzielna przez \(3\), bo \(27:3=9\). To oznacza, że jedyną cyfrą, która na pewno nie znalazła się pod znakiem \(\#\) jest \(8\), bo wtedy nasza liczba staje się podzielna przez \(3\).

Teoria:      
W trakcie opracowania