W trójkącie \(ABC\) długości boków są równe \(|AB|=|BC|=4\sqrt{2}cm\), a miara kąta \(ABC\) wynosi \(135°\). Oblicz pole tego trójkąta. Zapisz obliczenia.

Odpowiedź:      

\(P=8\sqrt{2}cm^2\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Do obliczenia pola potrzebujemy poznać długość wysokości trójkąta. Jest to trójkąt rozwartokątny, więc wysokość opuszczona na podstawę \(AB\) znajdzie się poza trójkątem. Rysując tę wysokość warto zauważyć, że powstanie nam przy okazji trójkąt o kątach \(45°,45°,90°\) i to właśnie z własności tego trójkąta obliczymy brakującą wysokość \(h\). Kąt \(DBC\) ma miarę \(45°\), ponieważ suma kątów przyległych jest równa \(180°\). Krok 2. Obliczenie wysokości \(h\). Spójrzmy na trójkąt \(BDC\). W trójkątach o kątach \(45°, 45°, 90°\) (czyli w połówce kwadratu) przyprostokątne mają długość \(a\), natomiast przeciwprostokątna ma długość \(a\sqrt{2}\). Skoro przeciwprostokątna ma długość \(4\sqrt{2}cm\), to: $$a\sqrt{2}=4\sqrt{2}cm \           ,\ a=4cm$$ To oznacza, że przyprostokątne trójkąta \(BDC\) mają długość \(4cm\), a więc tym samym \(h=4cm\). Krok 3. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(ABC\). Znając długość podstawy \(|AB|=4\sqrt{2}\) oraz mając już wysokość \(h=4cm\), możemy bez problemu przejść do obliczenia pola powierzchni trójkąta: $$P=\frac{1}{2}ah \           ,\ P=\frac{1}{2}\cdot4\sqrt{2}cm\cdot4cm \           ,\ P=8\sqrt{2}cm^2$$

Teoria:      
W trakcie opracowania