Równanie \(\frac{x^2-7x}{x^2-49}=0\) ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie:

A jedno rozwiązanie
B dwa rozwiązania
C trzy rozwiązania
D cztery rozwiązania

Odpowiedź:      

A

Rozwiązanie:      
Krok 1. Zapisanie założeń. W mianowniku ułamka znalazła się niewiadoma \(x\), dlatego koniecznie musimy zapisać stosowne założenia. Wartość mianownika musi być różna od zera (bo na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero), zatem: $$x^2-49\neq0 \           ,\ x^2\neq49 \           ,\ x\neq7 \quad\lor\quad x\neq=-7$$ Krok 2. Rozwiązanie równania. Dopiero po zapisaniu założeń, możemy przystąpić do rozwiązywania. Najprościej będzie wymnożyć obydwie strony równania przez wartość z mianownika, zatem: $$\frac{x^2-7x}{x^2-49}=0 \quad\bigg/\cdot(x^2-49) \           ,\ x^2-7x=0$$ Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego. Powstało nam proste równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać. Możemy oczywiście zastosować tutaj deltę (pamiętając o tym, że tutaj współczynnik \(c=0\)), ale to zadanie da się rozwiązać jeszcze prościej. Wystarczy wyłączyć \(x\) przed nawias, dzięki czemu otrzymamy: $$x^2-7x=0 \           ,\ x(x-7)=0$$ Otrzymaliśmy równanie kwadratowe, które przypomina klasyczną postać iloczynową. Postępowanie jest tutaj standardowe, czyli musimy odpowiednie wartości przyrównać do zera, zatem: $$x=0 \quad\lor\quad x-7=0 \           ,\ x=0 \quad\lor\quad x=7$$ Krok 4. Weryfikacja otrzymanych wyników. Na sam koniec musimy jeszcze zweryfikować otrzymane odpowiedzi. Z rozwiązania równania kwadratowego wyszło nam, że pasują nam dwa rozwiązania: \(x=0\) oraz \(x=7\). Niestety to drugie rozwiązanie musimy odrzucić ze względu na założenia zapisane w pierwszym kroku. Z tego też względu całe równanie ma tylko jedno rozwiązanie należące do zbioru liczb rzeczywistych i będzie nim \(x=0\).

Teoria:      
W trakcie opracowania