Miasto \(A\) i miasto \(B\) łączy linia kolejowa długości \(210km\). Średnia prędkość pociągu pospiesznego na tej trasie jest o \(24km/h\) większa od średniej prędkości pociągu osobowego. Pociąg pospieszny pokonuje tę trasę o \(1\) godzinę krócej niż pociąg osobowy. Oblicz czas pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny.

Odpowiedź:      

\(t=2,5\) godziny

Rozwiązanie:      
Krok 1. Wypisanie informacji z treści zadania. \(s=210km\) - trasa z miasta \(A\) do \(B\) (w kilometrach) \(v\) - prędkość pociągu pospiesznego (w \(\frac{km}{h}\)) \(v-24\) - prędkość pociągu osobowego (w \(\frac{km}{h}\)) \(t\) - czas pokonania trasy przez pociąg pospieszny (w godzinach) \(t+1\) - czas pokonania trasy przez pociąg osobowy (w godzinach) Krok 2. Stworzenie i rozwiązanie układu równań. Z powyższych danych możemy stworzyć dość prosty układ równań. Wykorzystamy przy tym wzór na drogę \(s=vt\) i podstawimy do niego raz dane dotyczące pociągu pospiesznego, a raz pociągu osobowego, zatem: \begin{cases} vt=210 \           ,\ (v-24)(t+1)=210 \end{cases} Z pierwszego równania możemy podstawić do drugiego wartość \(v=\frac{210}{t}\) i otrzymamy: $$\left(\frac{210}{t}-24\right)\left(t+1\right)=210 \           ,\ 210+\frac{210}{t}-24t-24=210 \           ,\ \frac{210}{t}-24t-24=0 \quad\bigg/\cdot t \           ,\ 210-24t^2-24t=0 \           ,\ -24t^2-24t+210=0$$ Powstałą równość możemy jeszcze uprościć dzieląc obie strony przez \(6\), dzięki czemu otrzymamy: $$-4t^2-4t+35=0$$ Jeśli nie dostrzeżesz tego dzielenia, to nic się nie stanie, po prostu w kolejnym kroku będziesz wykonywać działania na większych liczbach, ale wynik wyjdzie ten sam. Krok 3. Rozwiązanie powstałej równości. Równość kwadratową możemy obliczyć za pomocą tzw. metody delty. Współczynniki: \(a=-4,\;b=-4,\;c=35\) $$Δ=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot(-4)\cdot35=16+560=576 \           ,\ \sqrt{Δ}=\sqrt{576}=24$$ $$t_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-4)-24}{2\cdot(-4)}=\frac{4-24}{-8}=\frac{-20}{-8}=2,5 \           ,\ t_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-4)+24}{2\cdot(-4)}=\frac{4+24}{-8}=\frac{28}{-8}=-3,5$$ Ujemne rozwiązanie musimy odrzucić, bo czas nie może być ujemny. Zatem trzymaliśmy wartość \(t=2,5\), a to oznacza, że czas pokonania drogi przez pociąg pospieszny to \(2,5\) godziny.

Teoria:      
W trakcie opracowania