W trójkącie \(ABC\) poprowadzono dwusieczne kątów \(A\) i \(B\). Dwusieczne te przecinają się w punkcie \(P\). Uzasadnij, że kąt \(APB\) jest rozwarty.

Odpowiedź:      

Zadanie zostało udowodnione wykorzystując własności kątów w trójkątach.

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. W tym zadaniu bardzo ważne jest to jak sobie oznaczymy poszczególne informacje. Oznaczmy więc sobie wszystko krok po kroku. Najpierw na rysunku nanieśmy kąty w naszym małym trójkącie \(APB\): $$|\sphericalangle PAB|=α \           ,\ |\sphericalangle PBA|=β \           ,\ |\sphericalangle APB|=γ$$ Skoro dorysowane linie są dwusiecznymi, to także: $$|\sphericalangle PAB|=α \           ,\ |\sphericalangle PBC|=β$$ No i na koniec oznaczmy jeszcze ostatni kąt: $$|\sphericalangle ACB|=δ$$ Krok 2. Zapisanie odpowiednich równań i nierówności. Suma kątów trójkąta \(ABC\) jest równa \(180°\). Czyli: $$2α+2β+δ=180°$$ Kąt \(δ\) jest na pewno dodatni (nie wiemy ile ma stopni, ale jest na pewno dodatni). To oznacza, że suma kątów \(2α+2β\) jest mniejsza od \(180°\). Matematycznie możemy to zapisać jako: $$2α+2β\lt180° \quad\bigg/:2 \           ,\ α+β\lt90°$$ Krok 3. Zakończenie dowodu. Nie wiemy jaka jest dokładna miara poszczególnych kątów, ale już wiemy, że suma kątów \(α+β<90°\). Spójrzmy teraz na mały trójkąt \(APB\). Tutaj suma kątów \(α+β+γ=180°\). Skoro suma \(α+β\) jest mniejsza od \(90°\), to kąt \(γ\) musi mieć więcej niż \(90°\) i w ten sposób możemy zakończyć nasz dowód.

Teoria:      
W trakcie opracowania