Ciąg \((9,x,19)\) jest arytmetyczny, a ciąg \((x,42,y,z)\) jest geometryczny. Oblicz \(x\), \(y\) oraz \(z\).

Odpowiedź:      

\(x=14\), \(y=126\) oraz \(z=378\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Wyznaczenie wartości wyrazu \(x\). Skorzystamy z ciągu arytmetycznego i z reguły, która mówi że drugi wyraz ciągu jest wynikiem średniej arytmetycznej pierwszego i trzeciego wyrazu. Całość możemy opisać wzorem: $$a_{n}=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2} \           ,\ a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2} \           ,\ x=\frac{9+19}{2} \           ,\ x=\frac{28}{2} \           ,\ x=14$$ Krok 2. Obliczenie wartości ilorazu \(q\) ciągu geometrycznego. Podstawiając \(x=14\) do ciągu geometrycznego otrzymamy ciąg \((14,42,y,z)\). Znamy więc wartości dwóch wyrazów stojących obok siebie, a to z kolei pozwoli nam wyznaczyć wartość \(q\): $$q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \           ,\ q=\frac{42}{14} \           ,\ q=3$$ Krok 3. Obliczenie wartości wyrazów \(y\) oraz \(z\). Znając wartość \(q\) bez problemu wyliczymy już dowolny wyraz tego ciągu geometrycznego np. korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu: \(a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}\). Zatem: $$a_{3}=a_{1}\cdot 3^{3-1} \           ,\ y=14\cdot3^2 \           ,\ y=14\cdot9=126 \           ,\ \text{oraz} \           ,\ a_{4}=a_{1}\cdot 3^{4-1} \           ,\ z=14\cdot3^3 \           ,\ z=14\cdot27=378$$ Chcąc wyznaczyć np. trzeci wyraz ciągu geometrycznego mogliśmy też po prostu wymnożyć wartość drugiego wyrazu, czyli \(42\) przez iloraz, czyli przez \(3\), otrzymując w ten sposób \(y=126\). Analogicznie obliczylibyśmy czwarty wyraz, mnożąc \(126\) przez \(3\) i otrzymując w ten sposób \(z=378\). Otrzymaliśmy w ten sposób następujące wyniki: \(x=14\), \(y=126\) oraz \(z=378\).

Teoria:      
W trakcie opracowania