Pole prostokąta jest równe \(228\). Jeśli długość jednego boku zmniejszymy o \(5\), a długość drugiego boku zwiększymy o \(2\), to otrzymamy kwadrat. Wyznacz długości boków prostokąta.

Odpowiedź:      

\(19\) oraz \(12\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń i ułożenie układu równań. \(x\) - długość pierwszego boku prostokąta \(y\) - długość drugiego boku prostokąta Skoro pole prostokąta jest równe \(228\), to: $$x\cdot y=228$$ Z treści zadania wynika też, że: $$x-5=y+2$$ To oznacza, że otrzymamy układ równań: $$\begin{cases} x\cdot y=228 \           ,\ x-5=y+2 \end{cases}$$ Krok 2. Rozwiązanie układu równań. Najprościej będzie chyba rozwiązać ten układ metodą podstawiania, wyznaczając z pierwszego równania wartość igreka: $$\begin{cases} y=\frac{228}{x} \           ,\ x-5=y+2 \end{cases}$$ Podstawiając pierwsze równanie do drugiego otrzymamy: $$x-5=\frac{228}{x}+2 \quad\bigg/\cdot x \           ,\ x^2-5x=228+2x \           ,\ x^2-7x-228=0$$ Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego. Powstało nam równanie kwadratowe, które klasycznie obliczymy metodą delty: Współczynniki: \(a=1,\;b=-7,\;c=-228\) $$Δ=b^2-4ac=(-7)^2-4\cdot1\cdot(-228)=49-(-912)=961 \           ,\ \sqrt{Δ}=\sqrt{961}=31$$ $$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-7)-31}{2\cdot1}=\frac{7-31}{2}=\frac{-24}{2}=-12 \           ,\ x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-7)+31}{2\cdot1}=\frac{7+31}{2}=\frac{38}{2}=19$$ Ujemną wartość iksa musimy odrzucić, zatem zostaje nam \(x=19\). Krok 4. Wyznaczenie długości boków prostokąta. Wiemy już, że jeden z boków prostokąta ma długość \(x=19\). Drugą długość obliczymy korzystając z jednego z równań np.: $$x\cdot y=228 \           ,\ 19y=228 \           ,\ y=12$$ To oznacza, że prostokąt ma boki długości \(19\) oraz \(12\).

Teoria:      
W trakcie opracowania