Wykaż, że prawdziwe jest równanie \((11-\sqrt{21})^{\frac{1}{2}}+(11+\sqrt{21})^{\frac{1}{2}}=\sqrt{42}\).

Odpowiedź:      

Udowodniono obliczając wartość wyrażenia.

Rozwiązanie:      
$$(11-\sqrt{21})^{\frac{1}{2}}+(11+\sqrt{21})^{\frac{1}{2}}=\sqrt{42} \quad\bigg/^2 \           ,\ \left((11-\sqrt{21})^{\frac{1}{2}}+(11+\sqrt{21})^{\frac{1}{2}}\right)^2=42$$ Teraz chyba najtrudniejsza część zadania, musimy poprawnie podnieść do kwadratu lewą stronę równania. Skorzystamy tutaj ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). W naszym przypadku \(a=(11-\sqrt{21})^{\frac{1}{2}}\), natomiast \(b=(11+\sqrt{21})^{\frac{1}{2}}\). To oznacza, że wykonując potęgowanie otrzymamy: $$11-\sqrt{21}+2\cdot(11-\sqrt{21})^{\frac{1}{2}}\cdot(11+\sqrt{21})^{\frac{1}{2}}+11+\sqrt{21}=42 \           ,\ 22+2\cdot(11-\sqrt{21})^{\frac{1}{2}}\cdot(11+\sqrt{21})^{\frac{1}{2}}=42 \           ,\ 2\cdot(11-\sqrt{21})^{\frac{1}{2}}\cdot(11+\sqrt{21})^{\frac{1}{2}}=20 \           ,\ 2\cdot\sqrt{11-\sqrt{21}}\cdot\sqrt{11+\sqrt{21}}=20 \           ,\ 2\cdot\sqrt{(11-\sqrt{21})\cdot(11+\sqrt{21})}=20 \           ,\ 2\cdot\sqrt{121-21}=20 \           ,\ 2\cdot\sqrt{100}=20 \           ,\ 2\cdot10=20 \           ,\ 20=20 \           ,\ L=P$$

Teoria:      
W trakcie opracowania