Dany jest ciąg \((a_{n})\) określony wzorem ogólnym: \(a_{n}=4n-9\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\).



Wykaż, że ciąg \((a_{n})\) jest arytmetyczny.

Odpowiedź:      

Wykazano obliczając \(a_{n+1}\) oraz \(a_{n+2}\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Obliczenie wartości \(a_{n+1}\) oraz \(a_{n+2}\). Chcąc udowodnić, że dany ciąg jest arytmetyczny, możemy skorzystać z własności związanej z trzema kolejnymi wyrazami ciągu, czyli \(a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}\). Oczywiście nie możemy wprost obliczyć wartości \(a_{1}, a_{2}\) oraz \(a_{3}\), bo to nie będzie żaden dowód. Aby przeprowadzić poprawne dowodzenie, musimy obliczyć np. wartości \(a_{n+1}\) oraz \(a_{n+2}\), zatem: $$a_{n+1}=4(n+1)-9 \           ,\ a_{n+1}=4n+4-9 \           ,\ a_{n+1}=4n-5$$ $$a_{n+2}=4(n+2)-9 \           ,\ a_{n+2}=4n+8-9 \           ,\ a_{n+2}=4n-1$$ Krok 2. Zakończenie dowodzenia. Mamy wyrażenia opisujące trzy kolejne wyrazy ciągu, czyli \(a_{n}\), \(a_{n+1}\) oraz \(a_{n+2}\). Środkowym z tych trzech wyrazów jest \(a_{n+1}\), zatem: $$a_{n+1}=\frac{a_{n}+a_{n+2}}{2} \           ,\ 4n-5=\frac{4n-9+4n-1}{2} \           ,\ 4n-5=\frac{8n-10}{2} \           ,\ 4n-5=4n-5 \           ,\ L=P$$ W ten sposób udało się udowodnić, że ciąg \((a_{n})\) jest arytmetyczny.

Teoria:      
W trakcie opracowania