Kąt \(α\) jest ostry oraz \(\frac{4}{sin^2α}+\frac{4}{cos^2α}=25\). Oblicz wartość wyrażenia \(sinα\cdot cosα\).

Odpowiedź:      

\(cosα\cdot sinα=\frac{2}{5}\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika i dodanie do siebie tych dwóch wyrażeń. Aby dodać do siebie te dwa ułamki musimy je najpierw sprowadzić do wspólnego mianownika. Zrobimy to w następujący sposób: $$\frac{4}{sin^2α}+\frac{4}{cos^2α}=25 \           ,\ \frac{4\cdot cos^2α}{sin^2α\cdot cos^2α}+\frac{4\cdot sin^2α}{cos^2α\cdot sin^2α}=25 \           ,\ \frac{4\cdot cos^2α+4\cdot sin^2α}{cos^2α\cdot sin^2α}=25$$ Krok 2. Wyznaczenie wartości wyrażenia \(sinα\cdot cosα\). Spróbujmy z licznika wyłączyć czwórkę przed nawias, dzięki czemu w nawiasie otrzymamy jedynkę trygonometryczną. W mianowniku za to warto wyłączyć przed nawias potęgowanie, co sprawi że otrzymamy w nawiasie dokładnie to wyrażenie, którego wartości poszukujemy. Zatem: $$\frac{4\cdot(cos^2α+sin^2α)}{(cosα\cdot sinα)^2}=25 \           ,\ \frac{4\cdot1}{(cosα\cdot sinα)^2}=25 \           ,\ 4=25\cdot(cosα\cdot sinα)^2 \           ,\ (cosα\cdot sinα)^2=\frac{4}{25} \           ,\ cosα\cdot sinα=\sqrt{\frac{4}{25}} \quad\lor\quad cosα\cdot sinα=-\sqrt{\frac{4}{25}} \           ,\ cosα\cdot sinα=\frac{2}{5} \quad\lor\quad cosα\cdot sinα=-\frac{2}{5}$$ Z racji tego iż kąt \(α\) jest ostry, to ujemne rozwiązanie musimy odrzucić, bo dla kątów ostrych sinus i cosinus przyjmują wartości dodatnie. Zatem jedynym prawidłowym rozwiązaniem będzie \(cosα\cdot sinα=\frac{2}{5}\).

Teoria:      
W trakcie opracowania