Wykaż, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych parzystych jest podzielna przez \(24\).

Odpowiedź:      

Udowodniono sumując sześciany liczb \(2n\), \(2n+2\) oraz \(2n+4\).

Rozwiązanie:      
Krok 1. Zapisanie liczb naturalnych parzystych za pomocą wyrażeń algebraicznych. Każdą liczbę naturalną możemy zapisać jako \(n\). Każdą liczbę naturalną parzystą możemy zapisać jako \(2n\). W związku z tym trzema kolejnymi liczbami naturalnymi będą: $$2n;\quad2n+2;\quad2n+4$$ Krok 2. Obliczenie sześcianu każdej z kolejnych liczb. Skorzystamy tutaj (i to dwukrotnie) ze wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy liczb: $$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$ Zgodnie z treścią zadania każda liczba musi być podniesiona do potęgi trzeciej, zatem: $$(2n)^3=8n^3 \           ,\ \           ,\ (2n+2)^3=(2n)^3+3\cdot(2n)^2\cdot2+3\cdot2n\cdot2^2+2^3= \           ,\ =8n^3+24n^2+24n+8 \           ,\ \           ,\ (2n+4)^3=(2n)^3+3\cdot(2n)^2\cdot4+3\cdot2n\cdot4^2+4^3= \           ,\ =8n^3+48n^2+96n+64$$ Krok 3. Zsumowanie trzech wyników i wyłączenie całości przed nawias. Suma tych wszystkich trzech wyrażeń będzie więc równa: $$8n^3+8n^3+24n^2+24n+8+8n^3+48n^2+96n+64= \           ,\ =24n^3+72n^2+120n+72= \           ,\ =24(n^3+3n^2+5n+3)$$ Wyłączając przed nawias liczbę \(24\) udowodniliśmy, że suma tych trzech liczb jest podzielna przez \(24\).

Teoria:      
W trakcie opracowania