Miasta \(A\) i \(B\) są oddalone o \(450km\). Pani Danuta pokonała tę trasę swym samochodem w czasie o \(75\) minut dłuższym niż pani Lidia. Wartość średniej prędkości, z jaką jechała pani Danuta na całej trasie, była o \(18km/h\) mniejsza od wartości średniej prędkości, z jaką jechała pani Lidia. Oblicz średnie wartości:

- prędkości, z jaką pani Danuta jechała z \(A\) do \(B\)

- prędkości, z jaką pani Lidia jechała z \(A\) do \(B\)

Odpowiedź:      

\(v_{Lidia}=90\frac{km}{h}\) oraz \(v_{Danuta}=72\frac{km}{h}\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania. \(v\) - prędkość Pani Lidii \(t\) - czas Pani Lidii \(s=450\) - odległość między miastami \(v-18\) - prędkość Pani Danuty \(t+\frac{5}{4}\) - czas Pani Danuty Dlaczego czas Pani Danuty to \(t+\frac{5}{4}\)? Pani Danuta jechała dłużej o \(75\) minut. Nam jednostka jaką są minuty nie pasuje, bo prędkość obliczamy w \(\frac{km}{h}\). Musimy więc te minuty zamienić na godziny: $$75\text{ min. }=\frac{75}{60}\text{ godz. }=\frac{5}{4}\text{ godz. }$$ Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie układu równań. Skorzystamy tutaj ze standardowego wzoru: $$v=\frac{s}{t} \Rightarrow s=vt$$ Na podstawie tego wzoru układamy dwa równania - pierwsze dla Pani Lidii, drugie dla Pani Danuty. \begin{cases} 450=vt \           ,\ 450=(v-18)(t+\frac{5}{4}) \end{cases} Podstawiając z pierwszego równania \(t=\frac{450}{v}\) otrzymamy: $$\require{cancel} 450=(v-18)\left(\frac{450}{v}+\frac{5}{4}\right) \           ,\ \cancel{450}=\cancel{450}+\frac{5}{4}v-\frac{8100}{v}-22,5 \           ,\ \frac{5}{4}v-\frac{8100}{v}-22,5=0 \quad\bigg/\cdot v \           ,\ \frac{5}{4}v^2-22,5v-8100=0 \quad\bigg/\cdot\frac{4}{5} \           ,\ v^2-18v-6480=0$$ Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego. Skorzystamy tutaj z metody delty: Współczynniki: \(a=1,\;b=-18,\;c=-6480\) $$Δ=b^2-4ac=(-18)^2-4\cdot1\cdot(-6480)=324-(-25920)=324+25920=26244 \           ,\ \sqrt{Δ}=\sqrt{26244}=162$$ $$v_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-18)-162}{2\cdot1}=\frac{18-162}{2}=\frac{-144}{2}=-72 \           ,\ v_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-18)+162}{2\cdot1}=\frac{18+162}{2}=\frac{180}{2}=90$$ Krok 4. Obliczenie średnich wartości prędkości Pani Lidii i Danuty. Z równania kwadratowego otrzymaliśmy dwa rozwiązania, ale wartość ujemną oczywiście odrzucamy, tak więc wyszło nam, że prędkość jazdy Pani Lidii to \(90\frac{km}{h}\). W związku z tym prękość jazdy Pani Danuty wynosi: $$90\frac{km}{h}-18\frac{km}{h}=72\frac{km}{h}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania