Matura z matematyki (poziom podstawowy)

{tytul} Zbiory arkuszy maturalnych z matematyki. Nasza strona oferuje bogaty wybór przykładowych arkuszy, rozwiązań zadań, testów z matematyki oraz wiele innych materiałów

MATEMA tix .pl

Matematyczne wyzwania

Zbiory arkuszy maturalnych z matematyki. Nasza strona oferuje bogaty wybór przykładowych arkuszy, rozwiązań zadań, testów z matematyki oraz wiele innych materiałów

Arkusz 2016

Matura z matematyki (poziom podstawowy) - Czerwiec 2016 Zadanie 29 z 33

ZADANIE ODPOWIEDŹ ROZWIĄZANIE TEORIA

Zadanie nr 29. (2pkt)

Dany jest trapez prostokątny $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ oraz wysokości $AD$. Dwusieczna kąta $ABC$ przecina ramię $AD$ w punkcie $E$ oraz dwusieczną kąta $BCD$ w punkcie $F$ (zobacz rysunek).

Matematyka jest prosta

Wykaż, ze w czworokącie $CDEF$ sumy miar przeciwległych kątów są sobie równe.

Odpowiedź:

Udowodniono wykorzystując własności trapezów i kątów.

Rozwiązanie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego. Wewnątrz trapezu zostały poprowadzone dwie dwusieczne, więc możemy nanieść na rysunek miary kątów $α$ oraz $β$ w następujący sposób: Krok 2. Wykorzystanie własności trapezu do obliczenia sumy miar kątów $α$ oraz $β$. Spójrzmy na trapez $ABCD$. Jedną z własności trapezu jest to, że suma kątów przy jednym ramieniu jest równa $180°$. To oznacza, że: $$|\sphericalangle ABC|+|\sphericalangle BCD|=180° \ ,\ 2α+2β=180° \quad\bigg/:2 \ ,\ α+β=90°$$ Gdybyśmy nie pamiętali o tym, że suma miar przy jednym ramieniu trapezu jest równa $180°$, to mogliśmy od $360°$ odliczyć dwa kąty proste $DAB$ oraz $CDA$ i także doszlibyśmy do wniosku, że $|\sphericalangle ABC|+|\sphericalangle BCD|=180°$. Krok 3. Obliczenie miary kątów $BFC$ oraz $EFC$. Zacznijmy od kąta $BFC$. Jego miarę możemy oznaczyć jako $180°-(α+β)$, bo suma kątów w trójkącie $BFC$ musi być równa $180°$. Wiedząc, że $α+β=90°$ okazuje się, że $|\sphericalangle BFC|=90°$. Kąt $EFC$ jest przyległy do kąta $BFC$, a więc jego miara jest równa $180°-90°=90°$. Krok 4. Zakończenie dowodzenia. Spójrzmy na czworokąt $CDEF$. Skoro $|\sphericalangle EFC|=90°$ oraz $|\sphericalangle CDE|=90°$, to suma miar pierwszej pary kątów leżących naprzeciwko siebie jest równa $180°$. Suma kątów w czworokącie musi być równa $360°$, więc to oznacza, że suma kątów w drugiej parze kątów przeciwległych jest równa: $$|\sphericalangle FCD|+|\sphericalangle DEF|=360°-180°=180°$$ Suma miar przeciwległych kątów czworokąta $CDEF$ jest więc jednakowa, co należało udowodnić.

Teoria:
W trakcie opracowania

matura dodatkowa - CKE