Dany jest stożek o objętości \(8π\), w którym stosunek wysokości do promienia podstawy jest równy \(3:8\). Oblicz pole powierzchni bocznej tego stożka.

Odpowiedź:      

\(P_{b}=2\sqrt{73}π\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego. Oprócz naszkicowania sobie bryły wprowadźmy też oznaczenia, które pozwolą nam odnieść się do stosunku wysokości do promienia podstawy. Niech więc wysokość stożka będzie równa \(3x\), a promień podstawy \(8x\). Możemy też zapisać, że \(\frac{H}{r}=\frac{3}{8}\). Krok 2. Obliczenie wartości \(x\). Skorzystamy tutaj ze wzoru na objętość stożka. $$V=\frac{1}{3}πr^2\cdot H \           ,\ 8π=\frac{1}{3}π\cdot(8x)^2\cdot3x \           ,\ 8π=\frac{1}{3}π\cdot64x^2\cdot3x \           ,\ 8=64x^3 \           ,\ x^3=\frac{1}{8} \           ,\ x=\frac{1}{2}$$ To oznacza, że: $$r=8x=8\cdot\frac{1}{2}=4 \           ,\ H=3x=3\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$$ Krok 3. Obliczenie długości tworzącej stożka. Skorzystamy tutaj z Twierdzenia Pitagorasa: $$r^2+H^2=l^2 \           ,\ 4^2+\left(\frac{3}{2}\right)^2=l^2 \           ,\ 16+\frac{9}{4}=l^2 \           ,\ l^2=\frac{64}{4}+\frac{9}{4} \           ,\ l^2=\frac{73}{4} \           ,\ l=\sqrt{\frac{73}{4}} \           ,\ l=\frac{\sqrt{73}}{2}$$ Krok 4. Obliczenie pole powierzchni bocznej stożka. $$P_{b}=πrl \           ,\ P_{b}=π\cdot4\cdot\frac{\sqrt{73}}{2} \           ,\ P_{b}=2\sqrt{73}π$$

Teoria:      
W trakcie opracowania