Rozważamy wszystkie równoległoboki o obwodzie równym \(200\) i kącie ostrym o mierze \(30°\). Podaj wzór i dziedzinę funkcji opisującej zależność pola takiego równoległoboku od długości \(x\) boku równoległoboku. Oblicz wymiary tego z rozważanych równoległoboków, który ma największe pole, i oblicz to największe pole.

Odpowiedź:      

\(50\times50\) oraz \(P=1250\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Zapisanie zależności między bokami równoległoboku. Równoległobok ma dwie pary boków jednakowej długości. Skoro więc obwód ten jest równy \(200\), to możemy zapisać, że: $$2a+2b=200 \           ,\ a+b=100 \           ,\ b=100-a$$ Dodatkowo powinniśmy dostrzec, że długość boku \(b\) musi być dodatnia, stąd też: $$100-a\gt0 \           ,\ -a\gt-100 \           ,\ a\lt100$$ Krok 2. Zapisanie zależności między polem powierzchni i długością boku \(a\). $$P=a\cdot b\cdot sin30° \           ,\ P=a\cdot(100-a)\cdot\frac{1}{2} \           ,\ P=(100a-a^2)\cdot\frac{1}{2} \           ,\ P=-\frac{1}{2}a^2+50a$$ Krok 3. Obliczenie współrzędnej \(p\) wierzchołka paraboli. $$p=\frac{-b}{2a} \           ,\ p=\frac{-50}{2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)} \           ,\ p=\frac{-50}{-1} \           ,\ p=50$$ Otrzymany wynik oznacza, że funkcja osiąga więc największą wartość dla argumentu równego \(50\), co w naszym przypadku oznacza, że \(a=50\). Krok 4. Obliczenie długości \(b\). Skoro \(a=50\), to zgodnie z zapisami z pierwszego kroku, długość drugiego boku tej figury będzie równa: $$b=100-a \           ,\ b=100-50 \           ,\ b=50$$ To w praktyce oznacza, że poszukiwanym równoległobokiem będzie tak naprawdę romb o boku \(50\). Krok 5. Obliczenie pola równoległoboku. Musimy jeszcze obliczyć pole tego równoległoboku, zatem: $$P=a\cdot b\cdot sin30° \           ,\ P=50\cdot50\cdot\frac{1}{2} \           ,\ P=2500\cdot\frac{1}{2} \           ,\ P=1250$$

Teoria:      
W trakcie opracowania