Odcinki \(AD\) i \(BC\) przecinają się w punkcie \(O\). W trójkątach \(ABO\) i \(ODC\) zachodzą związki: \(|AO|=5\), \(|BO|=3\), \(|OC|=10\), \(|\sphericalangle OAB|=|\sphericalangle OCD|\) (zobacz rysunek).





Oblicz długość boku \(OD\) trójkąta \(ODC\). Zapisz obliczenia.

Odpowiedź:      

\(|OD|=6\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Dostrzeżenie podobieństwa trójkątów. Kąty przy wierzchołku \(O\) (czyli \(|\sphericalangle AOB|\) oraz \(|\sphericalangle DOC|\)f) są tak zwanymi kątami wierzchołkowymi, a z własności takich kątów wynika, że mają one jednakową miarę. Z treści zadania wiemy też, że kąty \(OAB\) oraz \(OCD\) także mają jednakową miarę. To oznacza, że w tym momencie trójkąty \(ABO\) i \(ODC\) mają już dwie pary jednakowych kątów, zatem i kąty rozwarte w tych trójkątach muszą mieć jednakową miarę. To prowadzi nas do wniosku, że te dwa trójkąty są podobne (cecha kąt-kąt-kąt). Krok 2. Obliczenie skali podobieństwa. Przyjmijmy, że trójkąt \(ABO\) jest trójkątem podstawowym, a trójkąt \(ODC\) jest trójkątem podobnym. Aby obliczyć skalę podobieństwa, musimy najpierw odnaleźć parę boków odpowiadających. W trójkącie \(ABO\) naprzeciwko kąta rozwartego jest bok o długości \(5\), a w trójkącie \(ODC\) mamy bok o długości \(10\). To oznacza, że skala podobieństwa będzie równa: $$k=\frac{10}{5} \           ,\ k=2$$ Krok 3. Obliczenie długości boku \(OD\). Bokiem odpowiadającym do boku \(OD\) będzie bok \(BO\) o długości \(3\). Skoro skala podobieństwa jest równa \(k=2\), to bok \(OD\) będzie dwa razy większy od boku \(BO\), czyli: $$|OD|=2\cdot3 \           ,\ |OD|=6$$

Teoria:      
W trakcie opracowania