Odcinek \(AB\) jest średnicą okręgu o środku w punkcie \(O\) i promieniu \(r=8\) (zobacz rysunek). Cięciwa \(AC\) ma długość \(8\sqrt{3}\).





Miara kąta \(BAC\) jest równa:

A \(30°\)
B \(45°\)
C \(15°\)
D \(60°\)

Odpowiedź:      

A

Rozwiązanie:      
Jeżeli odcinek \(AB\) jest średnicą okręgu, to wierzchołki \(ABC\) tworzą trójkąt prostokątny (kąt prosty jest przy wierzchołku \(C\)). Odcinek \(AC\) jest dłuższą przyprostokątną tego trójkąta i ma on długość \(|AC|=8\sqrt{3}\). W prosty sposób możemy poznać też długość przeciwprostokątnej - skoro jest to średnica okręgu o promieniu \(r=8\), to \(|AB|=2\cdot8=16\). Podane długości (i tak naprawdę proponowane odpowiedzi) powinny nam już zasugerować, że to będzie trójkąt o kątach \(30°, 60°, 90°\), w którym mamy boki o długości \(8\), \(8\sqrt{3}\) oraz \(16\). W takiej sytuacji kąt \(BAC\) ma na pewno miarę \(30°\), gdyż jest to kąt ostry leżący przy dłuższej przyprostokątnej. Gdybyśmy jednak tego nie dostrzegli, to miarę kąta \(BAC\) moglibyśmy poznać chociażby korzystając z funkcji trygonometrycznych. Z pomocą przyjdzie nam cosinus, dzięki któremu możemy zapisać, że: $$cos\alpha=\frac{8\sqrt{3}}{16} \           ,\ cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ Z tablic trygonometrycznych odczytujemy teraz, że cosinus przyjmuje wartość \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) dla kąta o mierze \(30°\).

Teoria:      
W trakcie opracowania