Dany jest kwadrat \(ABCD\). Przekątne \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(E\). Punkty \(K\) i \(M\) są środkami odcinków - odpowiednio - \(AE\) i \(EC\). Punkty \(L\) i \(N\) leżą na przekątnej \(BD\) tak, że \(|BL|=\frac{1}{3}|BE|\) i \(|DN|=\frac{1}{3}|DE|\) (zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta \(KLMN\) do pola kwadratu \(ABCD\) jest równy \(1:3\).

Odpowiedź:      

Udowodniono wyznaczając pole rombu i kwadratu.

Rozwiązanie:      
Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania. Generalnie naszym zadaniem jest porównanie pola powstałego rombu do pola dużego kwadratu. Do wyznaczenia pola rombu przydadzą nam się długości jego przekątnych. Jeżeli przyjęlibyśmy, że \(|AC|\) (czyli przekątna kwadratu) ma długość \(d\), to zgodnie z treścią zadania: $$|KM|=\frac{1}{2}d \           ,\ |LN|=\frac{2}{3}d$$ Krok 2. Obliczenie pola rombu i kwadratu. Zarówno pole rombu jak i kwadratu możemy wyliczyć mnożąc przez siebie długości przekątnych i dzieląc wynik na \(2\). Pole rombu: $$P_{r}=\frac{1}{2}ef \           ,\ P_{r}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}d\cdot\frac{2}{3}d \           ,\ P_{r}=\frac{1}{6}d^2$$ Pole kwadratu: $$P_{k}=\frac{1}{2}ef \           ,\ P_{k}=\frac{1}{2}\cdot d\cdot d \           ,\ P_{k}=\frac{1}{2}d^2$$ Krok 3. Porównanie pola rombu i kwadratu. Musimy sprawdzić jaki jest stosunek między tymi polami, tak więc: $$\frac{P_{r}}{P_{k}}=\frac{\frac{1}{6}d^2}{\frac{1}{2}d^2}=\frac{1}{3}$$ W ten sposób zadanie zostało udowodnione.

Teoria:      
W trakcie opracowania