Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa \(16\). Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy \(\frac{3}{5}\). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Odpowiedź:      

\(P_{c}=144+384\sqrt{2}\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego. W zadaniu mowa o graniastosłupie prawidłowym czworokątnym, a to oznacza, że w podstawie znajduje się kwadrat. Jeśli więc bok kwadratu oznaczylibyśmy sobie jako \(a\), to przekątna \(|AC|=a\sqrt{2}\). Kluczem do rozwiązania tego zadania będzie poznanie długości \(a\), bo wtedy obliczymy pole podstawy i pola ścian bocznych. Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(|EC|\). Spójrzmy na trójkąt \(ACE\). Znamy długość \(|AE|=16\). Wiemy też, że \(|AC|=a\sqrt{2}\). Gdyby więc udało nam się jeszcze ustalić długość odcinka \(|EC|\) to długość \(a\) obliczylibyśmy z Twierdzenia Pitagorasa. Z pomocą przyjdzie nam informacja mówiąca o tym, że \(cosα=\frac{3}{5}\). $$cosα=\frac{|AC|}{|EC|} \           ,\ \frac{3}{5}=\frac{a\sqrt{2}}{|EC|} \quad\bigg/\cdot\|EC|\           ,\ \frac{3}{5}|EC|=a\sqrt{2} \quad\bigg/\cdot\frac{5}{3} \           ,\ |EC|=\frac{5\sqrt{2}a}{3}$$ Krok 3. Wyznaczenie długości krawędzi \(a\) z wykorzystaniem Twierdzenia Pitagorasa. $$a^2+b^2=c^2 \           ,\ |AC|^2+|AE|^2=|EC|^2 \           ,\ (a\sqrt{2})^2+16^2=\left(\frac{5\sqrt{2}a}{3}\right)^2 \           ,\ 2a^2+256=\frac{50a^2}{9} \cdot|\cdot9 \           ,\ 18a^2+2304=50a^2 \           ,\ -32a^2+2304=0 \quad\bigg/:(-32) \           ,\ a^2-72=0$$ Powstałe równanie możemy obliczyć metodą delty (pamiętaj, że w tym przypadku współczynnik \(b=0\)), ale wygodniej będzie zapisać to w ten sposób: $$a^2-72=0 \           ,\ a^2=72 \           ,\ a=\sqrt{72} \quad\lor\quad a=-\sqrt{72}$$ Ujemne rozwiązanie oczywiście odrzucamy. To co jeszcze warto zrobić, to wyłączyć wspólny czynnik przed znak pierwiastka, tak więc: $$a=\sqrt{72}=a=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt{2}$$ Krok 4. Obliczenie pola całkowitego graniastosłupa. Znając długość \(a=6\sqrt{2}\) możemy już bez przeszkód obliczyć pole całkowite graniastosłupa. $$P_{c}=2P_{p}+4P_{b} \           ,\ P_{c}=2\cdot a^2+4\cdot a\cdot H \           ,\ P_{c}=2\cdot(6\sqrt{2})^2+4\cdot6\sqrt{2}\cdot16 \           ,\ P_{c}=2\cdot72+384\sqrt{2} \           ,\ P_{c}=144+384\sqrt{2}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania