W układzie współrzędnych dane są punkty \(A=(-43,-12)\), \(B=(50,19)\). Prosta \(AB\) przecina oś \(Ox\) w punkcie \(P\). Oblicz pierwszą współrzędną punktu \(P\).

Odpowiedź:      

\(P=(-7;0)\), więc pierwszą współrzędną jest \(x=-7\).

Rozwiązanie:      
Krok 1. Ustalenie wzoru prostej przechodzącej przez punkty \(A\) i \(B\). Aby poznać wzór tej prostej musimy stworzyć prosty układ równań. Do wzoru ogólnego w postaci \(y=ax+b\) podstawimy współrzędne punktu \(A\), a następnie punktu \(B\). Otrzymamy w ten sposób: \begin{cases} -12=-43a+b \           ,\ 19=50a+b \end{cases} Możemy ten układ rozwiązać w dowolny sposób, ale najprościej jest odjąć go od siebie stronami, dzięki czemu pozbędziemy się \(b\), zatem: $$-31=-93a \           ,\ a=\frac{1}{3}$$ Znając współczynnik \(a\) możemy teraz podstawić go do któregoś z równań i wyznaczyć w ten sposób współczynnik \(b\). $$19=50\cdot\frac{1}{3}+b \           ,\ \frac{57}{3}=\frac{50}{3}+b \           ,\ b=\frac{7}{3}$$ Wzór prostej przechodzącej przez punkty \(A\) i \(B\) to: \(y=\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}\). Krok 2. Obliczenie pierwszej współrzędnej punktu \(P\). Skoro nasza prosta przecina oś \(Ox\) w punkcie \(P\), to znaczy że \(P=(x;0)\). Musimy wyznaczyć współrzędną \(x\) punktu \(P\), więc wystarczy przyrównać wzór naszej prostej do zera: $$\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}=0 \quad\bigg/\cdot3 \           ,\ x+7=0 \           ,\ x=-7$$ To oznacza, że pierwszą współrzędną jest \(x=-7\), a pełne współrzędne tego punktu to \(P=(-7;0)\).

Teoria:      
W trakcie opracowania