W prostokącie przekątna długości \(d\) dzieli kąt prostokąta na dwie równe części. Wykaż, że pole kwadratu zbudowanego na tej przekątnej jest dwa razy większe od pola prostokąta.

Odpowiedź:      

Udowodniono zapisując wzory na pola tych kwadratów.

Rozwiązanie:      
Krok 1. Dostrzeżenie, że początkowy prostokąt musi być kwadratem. Z treści zadania wiemy, że przekątna prostokąta dzieli kąt na dwie równe części (czyli na kąty \(45°\)). Jest to sytuacja charakterystyczna tylko i wyłącznie dla kwadratu i właśnie stąd też możemy wywnioskować, że nasz prostokąt wyjściowy jest po prostu kwadratem. Krok 2. Wyznaczenie długości boku kwadratu zbudowanego na przekątnej. Wiemy już, że nasz wyjściowy prostokąt jest kwadratem, a skoro tak to wiemy też, że jeżeli jego bok ma długość \(a\) to przekątną możemy zapisać jako \(d=a\sqrt{2}\). Tym samym długość boku kwadratu zbudowanego na tej przekątnej będzie równa właśnie \(a\sqrt{2}\). Krok 3. Obliczenie pól powierzchni obydwu kwadratów i zakończenie dowodzenia. Pole pierwszego (wyjściowego) kwadratu jest równe: \(P=a\cdot a=a^2\) Pole drugiego (zbudowanego na przekątnej) kwadratu jest równe: \(P=a\sqrt{2}\cdot a\sqrt{2}=2a^2\) To oznacza, że pole drugiego kwadratu jest dwukrotnie większe i to właśnie należało udowodnić.

Teoria:      
W trakcie opracowania