Samochód przejechał \(180km\), jadąc ze stała prędkością. Gdyby jechał z prędkością o \(30\frac{km}{h}\) większą, to czas przejazdu skróciłby się o godzinę. Z jaka prędkością jechał samochód?

Odpowiedź:      

\(v=60\frac{km}{h}\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do zadania. \(s=180\) - pokonana trasa (w \(km\)) \(v_{1}\) - prędkość jazdy samochodu (w \(\frac{km}{h}\)) \(v_{2}=v_{1}+30\) - prędkość jazdy samochodu (w \(\frac{km}{h}\)), gdy samochód zwiększa prędkość o \(30\frac{km}{h}\) \(t_{1}\) - czas jazdy (w godzinach) \(t_{2}=t_{1}-1\) - czas jazdy (w godzinach), gdy samochód jedzie szybciej Krok 2. Utworzenie i rozwiązanie układu równań. Skorzystamy teraz ze wzoru na drogę \(s=vt\) i zapiszemy relację dotyczącą prędkości jazdy w obydwu przypadkach w formie układu równań: $$\begin{cases} s=v_{1}\cdot t_{1} \           ,\ s=v_{2}\cdot t_{2} \end{cases}$$ $$\begin{cases} 180=v_{1}\cdot t_{1} \           ,\ 180=v_{2}\cdot t_{2} \end{cases}$$ Podstawiając pod drugie równanie dane z kroku pierwszego otrzymamy: $$\begin{cases} 180=v_{1}\cdot t_{1} \           ,\ 180=(v_{1}+30)\cdot (t_{1}-1) \end{cases}$$ $$\begin{cases} v_{1}=\frac{180}{t_{1}} \           ,\ 180=(v_{1}+30)\cdot (t_{1}-1) \end{cases}$$ Teraz skorzystamy z metody podstawiania i podstawimy \(v_{1}\) z pierwszego równania do drugiego: $$180=\left(\frac{180}{t_{1}}+30\right)\cdot (t_{1}-1)$$ Wymnażając poszczególne nawiasy i upraszczając zapis do postaci ogólnej otrzymamy: $$180=180-\frac{180}{t_{1}}+30t_{1}-30 \quad\bigg/-180 \           ,\ -\frac{180}{t_{1}}+30t_{1}-30=0 \quad\bigg/\cdot t_{1} \           ,\ -180+30t_{1}^2-30t_{1}=0 \quad\bigg/:30 \           ,\ -6+t_{1}^2-t_{1}=0 \           ,\ t_{1}^2-t_{1}-6=0$$ Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego. Współczynniki: \(a=1,\;b=-1,\;c=-6\) $$Δ=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-6)=1-(-24)=25 \           ,\ \sqrt{Δ}=\sqrt{25}=5$$ $$t_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)-5}{2\cdot1}=\frac{1-5}{2}=\frac{-4}{2}=-2 \           ,\ t_{1}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)+5}{2\cdot1}=\frac{1+5}{2}=\frac{6}{2}=3$$ Ujemny wynik musimy odrzucić, bowiem czas nie może być ujemny. To oznacza, że \(t_{1}=3\). Krok 4. Obliczenie prędkości jazdy samochodu. Znamy długość drogi \(s=180km\), wiemy też że czas jazdy wynosi \(t_{1}=3h\), zatem bez problemu obliczymy prędkość auta: $$v=\frac{s}{t} \           ,\ v=\frac{180km}{3h} \           ,\ v=60\frac{km}{h}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania