W trójkącie prostokątnym \(ABC\) dane są wierzchołki \(A=(-2,0)\) i \(B=(8,0)\). Punkt \(C\) jest wierzchołkiem kąta prostego tego trójkąta i leży na osi \(OY\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\).

Odpowiedź:      

\(C=(0;4)\) lub \(C=(0;-4)\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Narysujmy sobie układ współrzędnych i zaznaczmy na nim dane z treści zadania, pamiętając o tym, by punkt \(C\) znajdował się na osi \(OY\): I tu bardzo ważna obserwacja, która będzie kluczowa dla całego zadania - współrzędna iksowa punktu \(C\) jest równa \(0\). Możemy sobie nawet zapisać, że \(C=(0;y_{C})\). Krok 2. Obliczenie długości boków trójkąta \(ABC\). Obliczmy teraz długość każdego z boków naszego trójkąta \(ABC\). Najprościej przyjdzie nam wyliczenie długości boku \(AB\), bo tu od razu po rysunku szkicowym widzimy, że obydwa te punkty są na osi iksów, więc nawet po kratkach jesteśmy w stanie stwierdzić, że \(|AB|=10\). Teraz przystąpmy do liczenia trudniejszych boków, zaczynając od \(AC\). Wiemy, że \(A=(-2,0)\) oraz \(C=(0;y_{C})\), zatem korzystając ze wzoru na długość odcinka możemy zapisać, że: $$|AC|=\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2} \           ,\ |AC|=\sqrt{(0-(-2))^2+(y_{C}-0)^2} \           ,\ |AC|=\sqrt{2^2+{y_{C}}^2} \           ,\ |AC|=\sqrt{4+{y_{C}}^2}$$ Analogicznie obliczymy długość odcinka \(BC\), wiedząc że \(B=(8,0)\) oraz \(C=(0;y_{C})\): $$|BC|=\sqrt{(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2} \           ,\ |BC|=\sqrt{(0-8)^2+(y_{C}-0)^2} \           ,\ |BC|=\sqrt{(-8)^2+{y_{C}}^2} \           ,\ |BC|=\sqrt{64+{y_{C}}^2}$$ Krok 3. Obliczenie współrzędnej \(y_{C}\). Mając rozpisane wszystkie długości boków możemy teraz skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa: $$|AC|^2+|BC|^2=|AB|^2 \           ,\ \left(\sqrt{4+{y_{C}}^2}\right)^2+\left(\sqrt{64+{y_{C}}^2}\right)^2=10^2 \           ,\ 4+{y_{C}}^2+64+{y_{C}}^2=100 \           ,\ 2{y_{C}}^2+68=100 \           ,\ 2{y_{C}}^2=32 \           ,\ {y_{C}}^2=16 \           ,\ y_{C}=4 \quad\lor\quad y_{C}=-4$$ Krok 4. Interpretacja otrzymanego wyniku. Otrzymaliśmy dwa możliwe rozwiązania i obydwa są prawidłowe. To oznacza, że istnieją dwie możliwości zapisania współrzędnych punktu \(C\) i będą to \(C=(0;4)\) lub \(C=(0;-4)\). Można więc powiedzieć, że ten nasz trójkąt może wyglądać tak jak na rysunku szkicowym lub też może być odbiciem lustrzanym względem osi iksów.

Teoria:      
W trakcie opracowania