Wyznacz zbiór wszystkich argumentów \(x\), dla których wartości funkcji \(f\) określonej wzorem \(f(x)=-4x^2+x+5\) są większe od wartości funkcji \(g\) określonej wzorem \(g(x)=-4x+6\).

Odpowiedź:      

\(x\in\left(\frac{1}{4};1\right)\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Ułożenie nierówności kwadratowej. Chcemy się dowiedzieć kiedy wartości funkcji \(f(x)\) są większe od wartości funkcji \(g(x)\), czyli chcemy sprawdzić kiedy: $$f(x)\gt g(x) \           ,\ -4x^2+x+5\gt-4x+6$$ Przenosząc teraz wyrazy na lewą stronę otrzymamy następującą sytuację: $$-4x^2+5x-1\gt0$$ Powstała nam więc klasyczna nierówność kwadratowa, którą teraz musimy rozwiązać. Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu. Rozwiązywanie nierówności zaczniemy od wyznaczenia miejsc zerowych. Musimy więc sprawdzić kiedy \(-4x^2+5x-1\) jest równe \(0\). Z pomocą przyjdzie nam tutaj oczywiście niezawodna delta: Współczynniki: \(a=-4,\;b=5,\;c=-1\) $$Δ=b^2-4ac=5^2-4\cdot(-4)\cdot(-1)=25-16=9 \           ,\ \sqrt{Δ}=\sqrt{9}=3$$ $$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-5-3}{2\cdot(-4)}=\frac{-8}{-8}=1 \           ,\ x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-5+3}{2\cdot(-4)}=\frac{-2}{-8}=\frac{1}{4}$$ Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli. Współczynnik kierunkowy \(a\) jest ujemny, a to oznacza, że parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu. Zaznaczamy więc na osi wyznaczone miejsca zerowe \(x=1\) oraz \(x=\frac{1}{4}\) (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\)) i rysujemy parabolę: Krok 4. Odczytanie rozwiązania. Interesują nas wyniki większe od zera, zatem patrzymy się na to co znalazło się nad osią. Ze szkicu paraboli wynika, że w takiej sytuacji rozwiązaniem tej nierówności jest przedział: $$x\in\left(\frac{1}{4};1\right)$$

Teoria:      
W trakcie opracowania