W ciągu ośmiu dni rowerzysta pokonał trasę \(236km\). Poczynając od drugiego dnia, przejeżdżał codziennie o \(3km\) mniej niż w dniu poprzednim. Ile kilometrów przejechał pierwszego dnia, a ile - ósmego? Zapisz obliczenia.

Odpowiedź:      

Pierwszego dnia: \(40km\), a ósmego dnia: \(19km\).

Rozwiązanie:      
Krok 1. Dostrzeżenie ciągu arytmetycznego. Idea tego zadania polega na tym, by dostrzec iż mamy tutaj styczność z ciągiem arytmetycznym. Zapiszmy kluczowe parametry tego ciągu, które wynikają z treści zadania. Skoro każdego dnia pokonywana trasa jest o \(3km\) krótsza, to na pewno \(r=-3\). Wiemy też, że podroż trwała \(8\) dni, zatem \(n=8\). I na koniec możemy jeszcze zapisać, że suma tych wszystkich pokonanych tras przez \(8\) dni była równa \(236km\), czyli że \(S_{8}=236\). Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu ciągu arytmetycznego. Aby obliczyć wartość pierwszego wyrazu, czyli \(a_{1}\), skorzystamy ze wzoru na sumę \(n\)-tych wyrazów ciągu arytmetycznego: $$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$ Podstawiając do tego wzoru wypisane przed chwilą dane otrzymamy: $$S_{8}=\frac{2a_{1}+(8-1)\cdot(-3)}{2}\cdot8 \           ,\ 236=\frac{2a_{1}+7\cdot(-3)}{2}\cdot8 \           ,\ 236=\frac{2a_{1}-21}{2}\cdot8 \           ,\ 236=(2a_{1}-21)\cdot4 \           ,\ 2a_{1}-21=59 \           ,\ 2a_{1}=80 \           ,\ a_{1}=40$$ To oznacza, że pierwszego dnia rowerzysta pokonał trasę \(40km\). Krok 3. Obliczenie wartości ósmego wyrazu ciągu arytmetycznego. Musimy jeszcze obliczyć długość pokonanej trasy ósmego dnia. W tym celu pomoże nam wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego: $$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$ Podstawiając \(a_{1}=40\), \(r=-3\) oraz \(n=8\) (bo szukamy wartości ósmego wyrazu) otrzymamy: $$a_{8}=a_{1}+(8-1)r \           ,\ a_{8}=a_{1}+7r \           ,\ a_{8}=40+7\cdot(-3) \           ,\ a_{8}=40-21 \           ,\ a_{8}=19$$ To oznacza, że ósmego dnia rowerzysta pokonał trasę \(19km\).

Teoria:      
W trakcie opracowania