W trójkącie \(ABC\) kąty o wierzchołkach \(A\) i \(B\) mają - odpowiednio - miary \(30°\) i \(45°\), a wysokość opuszczona na bok \(AB\) ma długość \(4\). Długość boku \(AB\) tego trójkąta wynosi:

A \(4(\sqrt{3}+4)\)
B \(4(\sqrt{3}+2)\)
C \(4(\sqrt{3}+1)\)
D \(12\)

Odpowiedź:      

C

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Narysujmy sobie trójkąt \(ABC\) i zaznaczmy w nim wskazane kąty oraz wysokość opuszczoną na bok \(AB\): Powinniśmy w tym momencie dostrzec, że powstały nam bardzo charakterystyczne trójkąty o kątach \(30°, 60°, 90°\) oraz \(45°, 45°, 90°\) i to właśnie korzystając z własności tych trójkątów obliczymy interesujące nas długości. Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(AD\). Spójrzmy na nasz rysunek i na trójkąt \(ADC\). Jest to trójkąt o kątach \(30°, 60°, 90°\). Boczna przyprostokątna ma długość \(4\) i jest położona przy kącie o mierze \(60°\). Z własności takich trójkątów wynika, że ta dolna przyprostokątna będzie \(\sqrt{3}\) razy większa, czyli \(|AD|=4\sqrt{3}\). Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(DB\). Teraz spójrzmy na trójkąt \(DBC\). Jest to trójkąt o kątach \(45°, 45°, 90°\). Z własności takich trójkątów wynika, że obydwie przyprostokątne mają jednakową miarę, a to oznacza, że \(|DB|=4\). Krok 4. Obliczenie długości odcinka \(AB\). Odcinek \(AB\) jest sumą długości \(AD\) oraz \(DB\), zatem: $$|AB|=4\sqrt{3}+4$$ Takiej odpowiedzi nie mamy wśród proponowanych, ale widzimy po odpowiedziach, że musimy jeszcze wyłączyć czwórkę przed nawias, otrzymując: $$|AB|=4\cdot(\sqrt{3}+1)$$

Teoria:      
W trakcie opracowania