Rozwiąż równanie \(9x^3+18x^2-4x-8=0\).

Odpowiedź:      

\(x=-2 \quad\lor\quad x=-\frac{2}{3} \quad\lor\quad x=\frac{2}{3}\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Wyłączenie odpowiednich czynników przed nawias i zapisanie równania w postaci iloczynowej. Tradycyjnie w tego typu zadaniach musimy wyłączyć wspólne części przed nawias. Wspólną częścią pierwszego i drugiego wyrazu jest \(9x^2\), a z trzeciego i czwartego wyrazu możemy wyłączyć liczbę \(4\). To oznacza, że: $$9x^3+18x^2-4x-8=0 \           ,\ 9x^2(x+2)-4(x+2) \           ,\ (9x^2-4)(x+2)=0$$ Krok 2. Wyznaczenie rozwiązań z postaci iloczynowej. Równanie mamy w postaci iloczynowej, tak więc aby całość była równa \(0\), to któraś z wartości w nawiasach musi być równa \(0\). Zatem: $$9x^2-4=0 \quad\lor\quad x+2=0$$ Z działaniem \(x+2=0\) nie mamy pewnie problemu, bo tutaj \(x=-2\). Jak jednak szybko rozwiązać \(9x^2-4=0\)? Można to obliczyć dokładnie tak samo jak każdą inną funkcję kwadratową, czyli metodą delty, niestety jest ona dość czasochłonna. Niektóre osoby, które dobrze opanowały wzory skróconego mnożenia pewnie też zauważą, że \(9x^2-4=0\) możemy zapisać jako \((3x-2)(3x+2)=0\) i z tego już łatwo wyliczymy poszczególne miejsca zerowe. Najłatwiej będzie rozwiązać to równanie w taki oto sposób: $$9x^2-4=0 \           ,\ 9x^2=4 \           ,\ x^2=\frac{4}{9} \           ,\ x=\sqrt{\frac{4}{9}} \           ,\ x=\frac{2}{3} \quad\lor\quad x=-\frac{2}{3}$$ To oznacza, że rozwiązaniem naszego równania są: \(x=-2 \quad\lor\quad x=-\frac{2}{3} \quad\lor\quad x=\frac{2}{3}\).

Teoria:      
W trakcie opracowania