Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe \(198\). Stosunki długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu to \(1:2:3\). Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu.

Odpowiedź:      

Przekątna prostopadłościanu ma długość \(3\sqrt{14}\).

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego. Krok 2. Obliczenie długości \(x\). Znając pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu i relacje między poszczególnymi długościami boków (patrz rysunek z pierwszego kroku) możemy obliczyć długość każdej z krawędzi. $$P_{c}=2\cdot x\cdot2x+2\cdot x\cdot3x+2\cdot2x\cdot3x \           ,\ 198=4x^2+6x^2+12x^2 \           ,\ 198=22x^2 \           ,\ x^2=9 \           ,\ x=3 \quad\lor\quad x=-3$$ Ujemną długość oczywiście odrzucamy, zostaje nam \(x=3\). Znając wartość \(x=3\) znamy tak naprawdę długości wszystkich krawędzi tego prostopadłościanu: \(x=3\), \(2x=6\) oraz \(3x=9\). Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(BD\). Musimy poznać długość odcinka \(BD\), tak aby potem użyć jej do obliczenia przekątnej bryły. Z Twierdzenia Pitagorasa wynika, że: $$a^2+b^2=c^2 \           ,\ |AB|^2+|AD|^2=|BD|^2 \           ,\ 3^2+6^2=|BD|^2 \           ,\ 9+36=|BD|^2 \           ,\ |BD|^2=45 \           ,\ |BD|=\sqrt{45}$$ Krok 4. Obliczenie długości przekątnej prostopadłościanu. Ponownie skorzystamy ze wzoru na Twierdzenie Pitagorasa. $$|BD|^2+|DH|^2=|BH|^2 \           ,\ (\sqrt{45})^2+9^2=|BH|^2 \           ,\ 45+81=|BH|^2 \           ,\ |BH|^2=126 \           ,\ |BH|=\sqrt{126}=\sqrt{9\cdot14}=3\sqrt{14}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania