Udowodnij, że różnica kwadratów dowolnej liczby pierwszej \(p\gt2\) i liczby o dwa od niej mniejszej jest podzielna przez \(8\).

Odpowiedź:      

Udowodniono rozpisując wyrażenie i korzystając z informacji na temat liczb parzystych oraz nieparzystych.

Rozwiązanie:      
Krok 1. Zapisanie wyrażenia na podstawie treści zadania. Jeżeli przyjmiemy, że \(p\) jest dowolną liczbą pierwszą, to liczbą o dwa od niej mniejszą będzie liczba \(p-2\). W związku z tym skoro interesuje nas różnica kwadratów tych dwóch liczb, to musimy sprawdzić wartość wyrażenia: $$p^2-(p-2)^2$$ Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia możemy powyższe wyrażenie rozpisać jako: $$p^2-(p^2-4p+4)=p^2-p^2+4p-4=4p-4=4\cdot(p-1)$$ Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku. Skoro liczba \(p\) jest tak zwaną liczbą pierwszą i \(p\gt2\) (bo tak wynika z treści zadania), to na pewno jest to liczba nieparzysta (bo wszystkie liczby pierwsze oprócz dwójki są nieparzyste). Skoro tak, to liczba \(p-1\) (która znalazła się w nawiasie naszego przekształconego wyrażenia) będzie liczbą parzystą. Na matematyce liczby parzyste zapisujemy jako \(2n\), gdzie \(n\) jest liczbą nieparzystą. Nasze wyrażenie moglibyśmy więc zapisać jako: $$4\cdot2n=8n$$ Otrzymany w ten sposób wynik dowodzi, że ta liczba musi być podzielna przez \(8\).

Teoria:      
W trakcie opracowania