Ustalono, że w pewnym jeziorze populacja zagrożonego gatunku ryb maleje każdego roku o \(30\%\), a na początku badań wynosiła \(50\) tys. sztuk. Podaj wzór funkcji wyrażającej liczebność tej populacji po upływie \(t\) lat i oblicz, ile ryb zagrożonego gatunku było w jeziorze po trzech latach od chwili rozpoczęcia badań.

Odpowiedź:      

\(p_{t}=50000\cdot(0,7)^t\) oraz \(p_{3}=17150\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Zapisanie wzoru funkcji. Przeanalizujmy sobie całą sytuację: Po upływie roku populacja wyniesie: \(p_{1}=50000\cdot0,7\) Po upływie dwóch lat populacja wyniesie: \(p_{2}=50000\cdot0,7\cdot0,7=50000\cdot(0,7)^2\) Po upływie trzech lat populacja wyniesie: \(p_{3}=50000\cdot0,7\cdot0,7\cdot0,7=50000\cdot(0,7)^3\) I tutaj możemy dostrzec już pewną prawidłowość, dzięki której będziemy w stanie zapisać, że po upływie \(t\) lat populacja wyniesie: \(p_{t}=50000\cdot(0,7)^t\) Krok 2. Obliczenie ilości ryb po trzech latach. Korzystając z uzyskanego wzoru lub z fragmentu naszej analizy możemy zapisać, że po upływie trzech lat liczba ryb wyniesie: $$p_{3}=50000\cdot(0,7)^3 \           ,\ p_{3}=50000\cdot0,343 \           ,\ p_{3}=17150$$

Teoria:      
W trakcie opracowania