Dla jakich wartości \(m\) równanie \(x(3x-6)(x^3+27)(x+m)=0\) z niewiadomą \(x\) ma trzy różne rozwiązania?

Odpowiedź:      

\(m\in\{-2,0,3\}\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Wyznaczenie rozwiązań równania. Korzystając z własności postaci iloczynowej możemy przyrównać poszczególne wyrażenia do zera, otrzymując: $$x=0 \quad\lor\quad 3x-6=0 \quad\lor\quad x^3+27=0 \quad\lor\quad x+m=0 \           ,\ x=0 \quad\lor\quad 3x=6 \quad\lor\quad x^3=-27 \quad\lor\quad x=-m \           ,\ x=0 \quad\lor\quad x=2 \quad\lor\quad x=-3 \quad\lor\quad x=-m$$ Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku. Chcemy, by nasze równanie miało trzy różne rozwiązania. Widzimy, że otrzymaliśmy już trzy konkretne wartości \(x=0, x=2, x=-3\), a to oznacza, że całe równanie będzie miało trzy rozwiązania tylko wtedy, gdy równanie \(x=-m\) "zdubluje się" z otrzymanym już wynikiem. Możemy więc zapisać, że równanie ma trzy rozwiązania, gdy (uwaga na znaki!): $$m=0 \quad\lor\quad m=-2 \quad\lor\quad m=3$$ Możemy nawet zapisać, że \(m\in\{-2,0,3\}\).

Teoria:      
W trakcie opracowania