Na rysunku pokazano ciąg kwadratów. Każdy następny kwadrat ma z poprzednim wspólny tylko jeden wierzchołek i dwa razy większą niż on długość boku. Wiedząc, że czwarty kwadrat ma bok długości \(8\), oblicz długość łamanej narysowanej pogrubioną linią, ograniczającą kwadraty od pierwszego do dziesiątego.

Odpowiedź:      

\(L=3069\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Dostrzeżenie ciągu geometrycznego. Patrząc się na opisaną sytuację powinniśmy dostrzec, że długości boków kolejnych kwadratów układają się w ciąg geometryczny w którym \(a_{4}=8\) (bo czwarty kwadrat ma długość boku równą \(8\)) oraz \(q=2\) (bo każdy kolejny kwadrat jest dwukrotnie większy). Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu. Za chwilę do naszych obliczeń będziemy potrzebować wartości pierwszego wyrazu, zatem już teraz możemy ją wyznaczyć. Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego otrzymamy, że: $$a_{4}=a_{1}\cdot q^3$$ Skoro \(a_{4}=8\) oraz \(q=2\), to: $$8=a_{1}\cdot 2^3 \           ,\ 8=a_{1}\cdot8 \           ,\ a_{1}=1$$ Krok 3. Obliczenie długości poszukiwanej łamanej. Skorzystamy tutaj ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego: $$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q}$$ Jest jednak pewne zastrzeżenie, które musimy sobie zrobić i to jest chyba główna pułapka w tym zadaniu. Jak podstawimy sobie do powyższego wzoru \(n=10\) to otrzymamy tak naprawdę informację o tym jaka jest suma długości pojedynczych boków pierwszych dziesięciu kwadratów (czyli tak na chłopski rozum dowiemy się ile to jest \(1+2+4+8+...\)). Tymczasem na naszą łamaną składają się aż trzy boki każdego kwadratu, zatem nas interesowałoby poznanie długości \(1+1+1+2+2+2+4+4+4+8+8+8...\) Z tego też względu długość naszej łamanej (oznaczmy ją sobie jako \(L\)) będzie trzykrotnie dłuższa od obliczonego \(S_{10}\). Całość możemy rozpisać następująco: $$L=3\cdot S_{10} \           ,\ L=3\cdot a_{1}\cdot\frac{1-q^{10}}{1-q} \           ,\ L=3\cdot1\cdot\frac{1-2^{10}}{1-2} \           ,\ L=3\cdot1\cdot\frac{1-2^{10}}{1-2} \           ,\ L=3\cdot\frac{1-1024}{-1} \           ,\ L=3\cdot1023 \           ,\ L=3069$$

Teoria:      
W trakcie opracowania