Dla kąta ostrego \(α\) dany jest \(cosα=\frac{2}{3}\). Oblicz wartość wyrażenia \(\sqrt{tg^2α+1}\).

Odpowiedź:      

\(\frac{3}{2}\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Obliczenie wartości sinusa. Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\). Z treści zadania wynika, że \(cosα=\frac{2}{3}\), w związku z tym: $$sin^2α+\left(\frac{2}{3}\right)^2=1 \           ,\ sin^2α+\frac{4}{9}=1 \           ,\ sin^2α=\frac{5}{9} \           ,\ sinα=\sqrt{\frac{5}{9}} \quad\lor\quad sinα=-\sqrt{\frac{5}{9}}$$ Ujemne rozwiązanie odrzucamy, bo kąt \(α\) jest ostry, a dla kątów ostrych sinus przyjmuje wartości dodatnie, zatem zostaje nam \(\sqrt{\frac{5}{9}}\). Możemy jeszcze ten zapis uprościć do postaci \(sinα=\frac{\sqrt{5}}{3}\). Krok 2. Obliczenie wartości tangensa. Wiedząc, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\) i znając wartość sinusa oraz cosinusa możemy bez obliczyć, że: $$tgα=\frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} \           ,\ tgα=\frac{\sqrt{5}}{3}:\frac{2}{3} \           ,\ tgα=\frac{\sqrt{5}}{3}\cdot\frac{3}{2} \           ,\ tgα=\frac{\sqrt{5}}{2}$$ Krok 3. Obliczenie wartości wyrażenia. Znając wartość tangensa możemy już bez problemu obliczyć wartość wyrażenia z treści zadania: $$\sqrt{tg^2α+1}=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2+1}=\sqrt{\frac{5}{4}+1}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania