Dana jest prosta o równaniu \(-2x-4y+3=0\). Wskaż równanie prostej, która jest do niej równoległa i przechodzi przez punkt \(P=(0,-2)\).

A \(y=\frac{1}{2}x-2\)
B \(y=-\frac{1}{2}x+2\)
C \(y=2x-2\)
D \(y=-\frac{1}{2}x-2\)

Odpowiedź:      

D

Rozwiązanie:      
Krok 1. Zapisanie równania prostej w postaci kierunkowej. Aby zacząć wyznaczenie prostej równoległej, to musimy najpierw zapisać prostą z treści zadania w postaci kierunkowej, czyli postaci typu \(y=ax+b\). Musimy więc przenieść wyrazy w taki sposób, by po lewej stronie został igrek, a po prawej by była cała reszta: $$-2x-4y+3=0 \           ,\ -4y=2x-3 \quad\bigg/:(-4)\           ,\ y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}$$ Krok 2. Zapisanie prostej równoległej. Aby dwie proste były względem siebie równoległe to ich współczynnik kierunkowy \(a\) musi być jednakowy. Nasza pierwsza prosta ma współczynnik kierunkowy \(a=-\frac{1}{2}\), zatem i prosta równoległa musi mieć współczynnik \(a=-\frac{1}{2}\). Standardowo w takich zadaniach znając już współczynnik \(a\) moglibyśmy zapisać, że prosta wyznacza się równaniem \(y=-\frac{1}{2}x+b\) i podstawiając współrzędne punktu \(P\) obliczylibyśmy brakujący współczynnik \(b\). Jednak w tym zadaniu współczynnik \(b\) możemy poznać bez wykonywania obliczeń, wystarczy odczytać go wprost z treści zadania. Zwróćmy uwagę na to, że punkt \(P=(0,-2)\) to miejsce przecięcia się z osią igreków. Współczynnik \(b\) informuje nas właśnie o tym gdzie dana prosta przecina się z osią igreków. Możemy więc już zapisać, że w takim razie \(b=-2\). Skoro więc \(a=-\frac{1}{2}\) oraz \(b=-2\), to prosta równoległa przechodząca przez punkt \(P\) wyraża się równaniem \(y=-\frac{1}{2}x-2\).

Teoria:      
W trakcie opracowania