Rozwiąż równanie \(2x^3+8x^2-3x-12=0\)

Odpowiedź:      

\(x=\sqrt{\frac{3}{2}} \quad\lor\quad x=-\sqrt{\frac{3}{2}} \quad\lor\quad x=-4\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Wyłączenie odpowiednich czynników przed nawias i zapisanie równania w postaci iloczynowej. W tego typu zadaniach musimy wyłączyć wspólne części przed nawias. Wspólną częścią pierwszego i drugiego wyrazu jest \(2x^2\), a z trzeciego i czwartego wyrazu możemy wyłączyć liczbę \(-3\). To oznacza, że: $$2x^3+8x^2-3x-12=0 \           ,\ 2x^2(x+4)-3(x+4)=0 \           ,\ (2x^2-3)(x+4)=0$$ Krok 2. Wyznaczenie rozwiązań z postaci iloczynowej. Korzystając z postaci iloczynowej możemy teraz przyrównać wartości w nawiasach do zera, wyznaczając w ten sposób rozwiązania naszej równości. $$2x^2-3=0 \quad\lor\quad x+4=0$$ Pierwsze równanie jest równaniem kwadratowym, które możemy obliczyć tradycyjnie deltą, ale możemy też to rozpisać w następujący sposób: $$2x^2-3=0 \           ,\ 2x^2=3 \           ,\ x^2=\frac{3}{2} \           ,\ x=\sqrt{\frac{3}{2}} \quad\lor\quad x=-\sqrt{\frac{3}{2}}$$ Z drugiego równania otrzymamy: $$x+4=0 \           ,\ x=-4$$ To oznacza, że nasze równanie z treści zadania ma łącznie trzy rozwiązania: $$x=\sqrt{\frac{3}{2}} \quad\lor\quad x=-\sqrt{\frac{3}{2}} \quad\lor\quad x=-4$$

Teoria:      
W trakcie opracowania