Średnia arytmetyczna dziesięciu liczb naturalnych \(3,10,5,x,x,x,x,12,19,7\) jest równa \(12\). Mediana tych liczb jest równa:

A \(14\)
B \(12\)
C \(16\)
D \(x\)

Odpowiedź:      

A

Rozwiązanie:      
Krok 1. Obliczenie wartości \(x\). Mamy dziesięć liczb, z czego cztery kryją się pod niewiadomą \(x\). Gdyby te niewiadome liczby były zapisane np. jako \(a,b,c,d\) to moglibyśmy przypuszczać, że każda z tych liczb jest różna. Skoro jednak wszystkie niewiadome uzyskały ten sam symbol \(x\) to jest to dla nas znak, że pod każdą z tych liczb kryje się ta sama wartość i my ją sobie teraz wyznaczymy. Korzystając zatem ze wzoru na średnią arytmetyczną możemy zapisać, że: $$\frac{3+10+5+x+x+x+x+12+19+7}{10}=12 \           ,\ \frac{56+4x}{10}=12 \           ,\ 56+4x=120 \           ,\ 4x=64 \           ,\ x=16$$ Krok 2. Zapisanie liczb w porządku niemalejącym. Aby móc przystąpić do obliczenia mediany musimy uporządkować te liczby w porządku niemalejącym (czyli od najmniejszej do największej). Otrzymamy zatem następującą sytuację: $$3,5,7,10,12,16,16,16,16,19$$ Krok 3. Obliczenie mediany. Mamy parzystą ilość liczb, zatem mediana będzie średnią arytmetyczną wartości środkowych wyrazów. W tym przypadku skoro mamy \(10\) liczb, to mediana będzie średnią arytmetyczną wartości piątej i szóstej liczby, czyli: $$m=\frac{12+16}{2} \           ,\ m=\frac{28}{2} \           ,\ m=14$$

Teoria:      
W trakcie opracowania