W ciągu arytmetycznym \((a_{1}, a_{2},...,a_{39},a_{40})\) suma wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równa \(1340\), a suma wyrazów ciągu o numerach nieparzystych jest równa \(1400\). Wyznacz ostatni wyraz tego ciągu arytmetycznego.

Odpowiedź:      

\(a_{40}=10\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego. Z treści zadania wynika, że: $$a_{2}+a_{4}+a_{6}+...+a_{38}+a_{40}=1340 \           ,\ \text{oraz} \           ,\ a_{1}+a_{3}+a_{5}+...+a_{37}+a_{39}=1400$$ Powstały nam więc tak jakby dwa oddzielne ciągi arytmetyczne, każdy składający się z 20-stu wyrazów. Jak dobrze się przyjrzymy to zauważymy, że każdy wyraz pierwszego ciągu jest o \(r\) większy od analogicznego wyrazu z ciągu drugiego, bo przecież: $$a_{2}=a_{1}+r \           ,\ a_{4}=a_{3}+r \           ,\ a_{40}=a_{39}+r$$ Możemy więc ten pierwszy ciąg zapisać jako: $$(a_{1}+r)+(a_{3}+r)+(a_{5}+r)+...+(a_{37}+r)+(a_{39}+r)=1340 \           ,\ \text{czyli:} \           ,\ a_{1}+a_{3}+a_{5}+...+a_{37}+a_{39}+20r=1340$$ Skoro suma \(a_{1}+a_{3}+a_{5}+...+a_{37}+a_{39}\) jest równa \(1400\), to podstawiając to do powyższego równania otrzymamy: $$1400+20r=1340 \           ,\ 20r=-60 \           ,\ r=-3$$ Krok 2. Obliczenie sumy wszystkich wyrazów ciągu arytmetycznego. Skoro suma wyrazów parzystych jest równa \(1340\), a suma wyrazów nieparzystych jest równa \(1400\), to suma wszystkich wyrazów naszego całego czterdziesto-wyrazowego ciągu wynosi: $$S_{40}=1340+1400 \           ,\ S_{40}=2740$$ Krok 3. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu. Skorzystamy teraz ze wzoru na sumę \(n\)-tych wyrazów ciągu arytmetycznego: $$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n \           ,\ S_{40}=\frac{a_{1}+a_{40}}{2}\cdot40$$ Wiemy już, że \(S_{40}=2740\) oraz że \(r=-3\). Dodatkowo wartość \(a_{40}\) możemy rozpisać jako \(a_{1}+39r\). To sprawia, że: $$S_{40}=\frac{a_{1}+a_{1}+39r}{2}\cdot40 \           ,\ 2740=\frac{a_{1}+a_{1}+39\cdot(-3)}{2}\cdot40 \           ,\ 2740=(a_{1}+a_{1}+(-117))\cdot20 \           ,\ 137=2a_{1}-117 \           ,\ 2a_{1}=254 \           ,\ a_{1}=127$$ Krok 4. Obliczenie wartości czterdziestego wyrazu. Skoro \(a_{1}=127\) oraz \(r=-3\), to korzystając z tego, że \(a_{40}=a_{1}+39r\) otrzymamy: $$a_{40}=a_{1}+39r \           ,\ a_{40}=127+39\cdot(-3) \           ,\ a_{40}=127-117 \           ,\ a_{40}=10$$

Teoria:      
W trakcie opracowania