Przekątne rombu \(ABCD\) przecinają się w punkcie \(S=(-\frac{21}{2},-1)\). Punkty \(A\) i \(C\) leżą na prostej o równaniu \(y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{2}\). Wyznacz równanie prostej \(BD\).

Odpowiedź:      

\(y=-3x-32\frac{1}{2}\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Ustalenie współczynnika \(a\) prostej \(BD\). Wiemy, że prosta \(AC\) wyraża się równaniem \(y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{2}\), czyli współczynnik kierunkowy \(a\) tej prostej wynosi \(\frac{1}{3}\). Prosta \(BD\) musi być prostopadła do naszej prostej \(AC\), a aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). W związku z tym prosta \(BD\) będzie miała współczynnik \(a\) równy: $$\frac{1}{3}\cdot a=-1 \           ,\ a=-3$$ Możemy teraz podstawić wyznaczony współczynnik do postaci kierunkowej \(y=ax+b\), a to oznacza, że wzór prostej \(BD\) możemy zapisać już jako \(y=-3x+b\). Krok 2. Obliczenie współczynnika \(b\) prostej \(BD\). Do poznania pełnego wzoru brakuje nam jeszcze współczynnika \(b\). Wyznaczymy go podstawiając do otrzymanej przed chwilą postaci \(y=-3x+b\) współrzędne punktu \(S\), przez który ta prosta przechodzi. Podstawiając zatem \(x=-\frac{21}{2}\) oraz \(y=-1\) otrzymamy: $$y=-3x+b \           ,\ -1=-3\cdot(-\frac{21}{2})+b \           ,\ -1=\frac{63}{2}+b \           ,\ -1=31\frac{1}{2}+b \           ,\ b=-32\frac{1}{2}$$ To oznacza, że nasza prosta \(BD\) wyraża się równaniem: \(y=-3x-32\frac{1}{2}\).

Teoria:      
W trakcie opracowania