W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym wszystkie krawędzie są tej samej długości. Suma długości wszystkich krawędzi jest równa \(90\). Wtedy pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe:

A \(300\)
B \(300\sqrt{3}\)
C \(300+50\sqrt{3}\)
D \(300+25\sqrt{3}\)

Odpowiedź:      

C

Rozwiązanie:      
Krok 1. Obliczenie długości krawędzi graniastosłupa. W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym mamy \(9\) krawędzi. Skąd to wiemy? Możemy to albo sobie wyobrazić (trzy krawędzie w podstawie dolnej, trzy krawędzie w podstawie górnej i trzy krawędzie boczne), albo możemy skorzystać ze wzoru na liczbę krawędzi w graniastosłupach. Graniastosłup posiadającego w swojej podstawie \(n\)-kąt ma liczbę krawędzi równą \(3n\). Czyli w naszym przypadku skoro \(n=3\), to liczba krawędzi będzie równa \(3\cdot3=9\). Skoro suma wszystkich krawędzi jest równa \(90\), a takich krawędzi mamy \(9\), to każda z nich ma długość: $$a=90:9 \           ,\ a=10$$ Krok 2. Obliczenie powierzchni podstawy dolnej i górnej. W podstawie dolnej i górnej znajduje się trójkąt równoboczny o boku \(a=10\). Pole każdej z tych podstaw będzie więc równe: $$P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \           ,\ P_{p}=\frac{10^2\sqrt{3}}{4} \           ,\ P_{p}=\frac{100\sqrt{3}}{4} \           ,\ P_{p}=25\sqrt{3}$$ Krok 3. Obliczenie powierzchni ściany bocznej. W ścianie bocznej znajdzie się kwadrat o boku \(a=10\), zatem: $$P_{b}=a^2 \           ,\ P_{b}=10^2 \           ,\ P_{b}=100$$ Krok 4. Obliczenie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa. Mamy dwie podstawy (dolna oraz górna) oraz trzy ściany boczne, zatem pole powierzchni całkowitej będzie równe: $$P_{c}=2P_{p}+3P_{b} \           ,\ P_{c}=2\cdot25\sqrt{3}+3\cdot100 \           ,\ P_{c}=300+50\sqrt{3}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania